DU CERCLE

318. Dans les propositions précédentes, nous n'avons considéré que des points et des droites dans un même plan. Dans les suivantes, il y aura une considération de plus, celle du cercle, c'est-à-dire de la ligne plane dont tous les points sont à une distance égale d'un même point ^itué dans son plan. Cette ligne ne peut être ni droite, ni composée de lignes droites, puisqu'il est démontré que les distances d'un même point aux différents points d'une droite vont en augmentant à mesure que ces points s'éloignent du pied de la perpendiculaire abaissée du point donné sur cette droite. Le cercle, ou le lieu des points également distants d'un point fixe, et situés dans un même plan, ne peut donc être que ce que nous avons appelé une courbe : c'est la plus simple de toutes, la seule dont on s'occupe dans les premiers éléments. Quelques auteurs appellent cercle la partie du plan interceptée par la courbe, et appellent celle-ci circonférence. Nous croyons plus convenable de ne pas faire cette distinction ; et quand nous voudrons parler de la surface comprise dans le cercle, nous le dirons expressément.

La combinaison de la ligne droite et du cercle donne lieu à un nombre indéfini de propositions, dont il est à propos de faire connaître ici les plus simples, celles qui se

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retrouvent à chaque instant, et se présentent d'ailleurs si naturellement à l'esprit, que la démonstration n'en paraît nécessaire qu'à ceux qui ont déjà l'habitude du raisonnement et de la rigueur. Nous ne donnerons aucun développement à ces propositions, qui sont traitées à peu près de la même manière par tous les auteurs qui ont imité Euclide ; nous nous contenterons d'indiquer brièvement en quoi elles consistent.

On voit d'abord que les positions relatives d'une droite et d'un cercle donnent lieu à trois cas distincts. Si la perpendiculaire abaissée du centre sur la droite est plus grande que le rayon, tous les points de la droite sont en dehors du cercle, puisque leur distance au centre est plus grande que la perpendiculaire qui est déjà plus grande que le rayon. Si cette perpendiculaire est égale au rayon, son pied appartient au cercle ; mais tous les autres points de la droite sont en dehors, parce que leur distance au centre est plus grande que le rayon, qui est la perpendiculaire. La droite, qui n'a ainsi qu'un point commun avec le centre, est dite tangente.

Enfin, si la perpendiculaire est plus petite que le rayon, son pied est dans l'intérieur du cercle, et la droite prolongée dans les deux sens rencontrera le cercle en deux points au moins : elle est dite sécante.

Nous disons qu'elle coupe au moins en deux points le cercle. Gela résulte d'un de nos axiomes ; mais il est bon de reconnaître qu'elle ne peut le couper en plus de deux points. Car, s'il y avait trois points communs à un cercle et à une ligne droite, leurs distances au centre seraient égales ; or les propositions démontrées sur les perpendiculaires et les obliques prouvent que d'un point à une droite il ne peut y avoir trois longueurs égales.

La seule inspection d'un cercle donne l'idée des propositions suivantes.