CHAPITRE II

ôter Tunité autant de fois que possible ; que s'il y avait un reste, il fallait de même en ôter autant de fois que possible une subdivision déterminée de l'unité, et ainsi de suite ; nous renvoyons à l'exposition que nous avons faite de cette méthode, et des divers cas auxquels elle pouvait donner lieu. Et comme il n'y a aucune difficulté à prendre sur une droite une longueur égale à une autre ligne droite, cette opération s'exécutera immédiatement, et nous n'avons rien de plus à dire sur la mesure des lignes droites, ou leur évaluation numérique.

D'après ce que nous avons dit en général, cette mesure peut être exprimée par un nombre entier, par un nombre fractionnaire ou par un nombre incommensurable ; mais il y a quelques remarques à faire sur ce dernier cas.

Si les deux lignes dont on cherche le rapport sont données matériellement, c'est aussi par des opérations matérielles que l'on procédera. Mais, quelle que soit la perfection des instruments employés, il y aura toujours des limites au-dessous desquelles les grandeurs ne seront plus perceptibles pour nous ; de sorte que, même sans tenir compte des imperfections des instruments et des lignes à comparer, les appréciations seraient limitées par nos sens. On arrivera donc toujours par les procédés graphiques à une évaluation qu'on regardera comme exacte, lorsque le reste sera imperceptible; et deux lignes quelconques paraîtront toujours avoir une commune mesure, c'est-à-dire une longueur contenue exactement dans chacune d'elles. Et si l'une est prise pour unité, la mesure de l'autre sera donnée par un nombre fractionnaire.

Mais si les deux lignes ne sont pas données graphiquement, et qu'elles dépendent l'une de l'autre par des conditions exactement définies, on peut se proposer de trouver leur rapport, soit exact, soit approché, suivant qu'elles ont, ou n'ont pas, de mesure commune.

346 SCIENCE DE l'étendue.

On peut, par exemple, chercher le rapport de la diagonale d'un carré à son côté ; le rapport entre le rayon d'un cercle et le côté d'un polygone régulier inscrit ou circonscrit, d'un nombre donné de côtés, etc., etc., etc.

324. De la plus grande commune mesure. — Dans l'une ou l'autre supposition, si l'on voulait trouver la plus grande ligne comprise exactement dans les deux proposées, ce qui donnerait leur rapport exprimé par les plus petits nombres entiers, on procéderait comme pour la recherche du plus grand nombre contenu exactement dans deux nombres donnés. On ôtera de la plus grande la plus petite autant de fois que possible; s'il ne reste rien, celleci sera la ligne cherchée ; et s'il y a un reste, la plus grande commune mesure de ce reste et de la plus petite sera la même que celle des deux lignes proposées. La question se présentant la même entre ces deux nouvelles lignes, moindres que les premières, on continuera de même jusqu'à ce que l'on arrive à un reste nul, ou que l'on s'assure qu'il n'existe pas de commune mesure.

Dans le cas de données graphiques, l'opération s'arrêtera toujours, faute de pouvoir apprécier des quantités qui dépassent une certaine limite de petitesse. Dans le cas de dépendance exactement définie, il pourra arriver, comme pour la diagonale du carré, que la marche même de l'opération annonce l'absence de commune mesure; mais le plus ordinairement, c'est par des considérations tenant à la science des nombres qu'on y parviendra, et ce n'est pas en cherchant la plus grande commune mesure par les procédés que nous venons d'indiquer.

Il est presque inutile de faire remarquer que ce que nous venons de dire à propos des lignes droites s'applique à deux quantités d'une même espèce quelconque.