MESURE DES ANGLES

326. L'égalité et l'addition des angles ayant été définies, on peut se proposer de les mesurer, c'est-à-dire de trouver leur rapport à celui qui a été choisi pour unité. Gomme il n'y a aucune difficulté à faire, avec une ligne donnée, un angle égal à un angle donné, on trouvera sans peine combien de fois l'angle donné contient l'unité, et combien le reste contient de subdivisions convenues de cette unité ; la mesure des angles n'offre donc en théorie aucune difficulté de plus que celle des lignes droites.

Mais il n'en est pas de même en pratique. Gomme il résulterait trop d'erreurs de la construction de tous ces angles, on emploie des instruments où sont marquées les plus petites subdivisions de l'angle droit, qui est ordinairement pris pour unité; le sommet de tous les angles est le même, et, pour mesurer un angle donné quelconque, il suffirait de placer son sommet au sommet commun, un de ses côtés sur l'origine commune, et de reconnaître sur quelle subdivision tombe le second côté, ou, ce qui arrivera le plus ordinairement, entre quelles subdivisions consécutives il tombe. Or, les nombres correspondant à chaque subdivision angulaire ne peuvent être commodément écrits sur les côtés mêmes de ces angles, et il est plus convenable que la graduation se fasse sur une ligne continue qui coupe tous ces côtés, et permette de juger plus facilement la portion de la dernière subdivision que l'instrument ne peut évaluer. Or, de toutes les lignes, la plus avantageuse est le cercle, ayant son centre au sommet commun des angles. A des angles égaux au centre correspondront des arcs égaux compris

348 SCIENCE DE l'étendue.

entre leurs côtés; l'instrument sera donc beaucoup plus facile à graduer que si l'on prenait toute autre courbe. Le quart de cercle correspondra à l'angle droit; le quatre-vingtdixième de l'angle droit, ou l'angle de i degré, correspondra au quatre-vingt-dixième du quart de cercle, qu'on appellera Vaic d'un degré, et ainsi de suite ; de sorte que la mesure d'un angle, en prenant l'angle droit pour unité, sera la même que la mesure de l'arc compris entre ses côtés, en prenant pour unité le quart de cercle et supposant toujours le sommet de l'angle au centre du cercle.

C'est là ce qu'on entend quand on dit qu'un angle au centre a pour mesure l'arc compris entre ses côtés.

327. Les recherches théoriques conduisent quelquefois à la comparaison d'angles dont le sommet n'est pas au centre des cercles qui se trouvent dans la figure, et il y a à cet égard des théorèmes qu'il est utile de connaître. Comme les angles au centre d'un même cercle ont entre eux le même rapport que les arcs qu'ils interceptent, il suffît de déterminer quel arc intercepterait entre ses côtés un angle dont le sommet serait situé en un point quelconque, et qu'on transporterait sans changer sa grandeur, de manière que son sommet vînt coïncider avec le centre. Ainsi l'angle formé par deux cordes, ou une corde et une tangente, transporté au centre, intercepterait entre ses côtés la moitié de l'arc qu'il intercepte dans la position donnée ; pour l'évaluer, il ne faut donc prendre que la moitié de cet arc ; ce que l'on exprime en disant qu'un angle ainsi placé a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés.

Il est encore bon de savoir comment on connaîtrait l'arc intercepté entre les côtés d'un angle dont le sommet serait transporté au centre, lorsque ce sommet est placé en dedans ou en dehors du cercle. Cet arc dépend d'une manière trèssimple de ceux qui sont déterminés sur la figure par la ren-