CHAPITRE VI

toutes les faces du premier polyèdre, les deux surfaces seront décomposées en portions planes ayant deux à deux même projection sur un plan perpendiculaire à tous ceux qui opèrent cette décomposition.

Or deux quelconques de ces surfaces correspondantes font avec le plan de projection des angles qui tendent à être égaux, puisque leurs directions sont infiniment voisines de celles d'un même plan tangent ; leur rapport tend donc indéfiniment vers l'unité, et par conséquent il en est de même de leurs sommets ou des surfaces entières des polyèdres inscrits.

La loi suivant laquelle on détermine les sommets des polyèdres inscrits n'influe donc pas sur la limite, si elle existe, et il suffît de prouver qu'elle existe, soit pour une loi particulière d'inscription, soit pour une somme de faces obtenues par une autre voie, et telle, que son rapport avec la surface des polyèdres inscrits ait pour limite l'unité.

387. Concevons d'abord un plan tel, qu'en y projetant la portion de surface dont il s'agit il ne se trouve pas deux de ses points ayant même projection, ce qui est toujours possible en la subdivisant en parties qu'on considérera séparément. Supposons ensuite une série de plans parallèles entre eux, perpendiculaires au premier, et distants les uns des autres d'une quantité infiniment petite a ; puis une seconde série de plans parallèles distants les uns des autres d'une quantité infiniment petite ê, perpendiculaires au premier plan, ainsi qu'à ceux de la première série. La surface proposée se trouvera décomposée en parties dont la projection sera égale au rectangle «S, ou à une fraction de ce rectangle pour les parties voisines du contour. Dans chacune de ces parties, menons le plan tangent au point tel qu'il fasse le plus grand angle avec le plan de projection. Soit 0) cet angle; si nous formons un triangle rectangle

420 SCIENCE DE l'ÉTENDUE.

dont l'angle à la base soit w, il y aura même rapport de l'hypoténuse à la base que de la portion de plan tangent qui se projette suivant aQ, à sa projection. Désignant ce rapport par m, la portion de plan tangent sera exprimée par moc^.

Si maintenant on conçoit deux nouvelles séries de plans parallèles respectivement à ceux des précédentes, et partageant en deux parties égales l'intervalle de deux consécutifs quelconques, chaque portion de la surface se trouvera divisée en quatre autres. Dans chacune de ces nouvelles portions, nous mènerons de même le plan tangent faisant le plus grand angle avec le plan de projection, et les quatre portions de ces plans qui remplaceront celle qui se projetait dans le même espace aS formeront une somme moindre, puisque, pour trois d'entre elles, l'angle formé avec le plan de projection sera moindre que celui que formait le plan tangent dans le mode de division précédent.

En suivant indéfiniment le même procédé, la somme des portions indéfiniment décroissantes des plans tangents ira donc constamment en diminuant. De plus, elle sera toujours supérieure à une quantité fixe, par exemple la projection de la surface entière : donc elle a une limite. Or, les raisonnements faits pour deux polyèdres inscrits, ayant leurs faces infiniment petites dans tous les sens, s'appliquent à toute somme de faces infiniment petites donnant la même projection totale, et faisant, avec les plans des faces correspondantes, des angles ayant zéro pour limite. Donc la limite de la somme des portions discontinues de plans tangents que nous avons considérée est aussi celle de la surface de tous les polyèdres inscrits.

Cette limite unique est ce que nous nommons V aire de la surface courbe.