DE L AIRE DES SURFACES COURBES

386. Les surfaces courbes ne pouvant coïncider que dans des cas très-particuliers, on ne pourrait établir aucune comparaison entre elles sous le rapport de l'étendue si Ton définissait par la superposition leur égalité en étendue.

La définition que nous donnerons de l'aire d'une surface courbe ramène à la considération des aires de surfaces planes, que l'on sait évaluer, et est tout à fait analogue à celle que nous avons donnée pour la longueur des lignes courbes.

D. — Se. de rais., 2" Part. 27

4l8 SCIENCE DE l'étendue.

Nous appellerons aire d'une surface courbe la limite de l'aire d'un polyèdre inscrit dont les faces tendent indéfiniment uers zéro.

Mais, pour que cette définition ait un sens précis, il faut démontrer qu'il y a une limite pour l'aire de ce polyèdre, et qu'elle est indépendante de la loi suivant laquelle ses faces tendent vers zéro.

Une notion préalable indispensable est celle du plan tangent. On démontre facilement que toutes les tangentes à une surface menées par un quelconque de ses points sont en général dans un même plan; et, par suite, que si, par ce point et deux autres infiniment voisins pris sur la surface et non en ligne droite avec lui, on fait passer un plan, ce plan tend vers une limite déterminée à mesure que les deux points variables se rapprochent du premier, et cette limite est le plan tangent.

Cela posé, concevons sur toute l'étendue de la surface en question des points à des distances infiniment petites les uns des autres; joigaons-les par des lignes droites qui déterminent une suite continue de triangles inscrits, ayant tous leurs côtés infiniment petits. Subdivisons indéfiniment ces triangles en d'autres, en prenant par exemple les milieux d'arcs qu'on tracerait sur la surface entre les sommets du même triangle.

Concevons ensuite un polyèdre inscrit suivant toute autre loi et dont les faces décroissent indéfiniment, et comparons les surfaces de ces deux polyèdres. Pour cela, par toutes les arêtes du premier, menons des plans parallèles à une même droite ; les trois qui partiront des côtés d'un quelconque des triangles comprendront entre eux une por tion de la surface du second polyèdre qui sera plane ou composée de plusieurs parties non dans le même plan. Dans ce dernier cas, en menant de nouveaux plans par les arêtes de cette portion de surface et faisant de même pour