CHAPITRE VII

391 . Les circonférences de deux cercles quelconques sont entre elles comme leurs rayons.

Gela résulte de ce qu'elles sont les limites des périmètres de polygones réguliers inscrits, et que ces périmètres sont entre eux comme les rayons des cercles, si l'on donne à ces polygones le même nombre de côtés.

Il en serait de même des portions de ces circonférences qui correspondraient à des angles égaux aux centres.

Il suit de là que le rapport de la circonférence au diamètre est le même pour tous les cercles. Archimède en a donné la valeur approchée. Il a montré qu'il est compris entre 3 ^ et 3 -^. Avant lui on ne s'était pas occupé de la longueur des lignes courbes. Euclide n'en parle pas, non plus que de l'aire des surfaces courbes.

C'est pour rendre possible la comparaison de ces grandeurs qu'Archimède a posé des principes qui sont encore admis dans l'enseignement, mais dont nous n'avons pas fait usage. Il nous a semblé bien préférable de partir des définitions que nous venons de faire connaître, pour la longueur des courbes et l'aire des surfaces courbes.

Les principes admis par Archimède consistent en ce que la ligne droite est plus petite que toute courbe ayant les mêmes extrémités ; qu'une courbe concave vers la droite qui joint ses extrémités est plus courte que toute autre ligne qui l'enveloppe, et a les mêmes extrémités; qu'une surface plane est moindre que toute surface terminée au même contour; et, enfin, qu'une surface concave vers un même plan est moindre que toute autre surface qui l'enveloppe et est terminée au même contour.

Au moyen de ces principes, Archimède a pu résoudre un grand nombre de questions de la plus haute importance, qui n'avaient pu être abordées par les géomètres qui l'avaient précédé. Tout ce qui dépend de la longueur des courbes et de l'aire des surfaces courbes, c'est-à-dire une

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grande partie de la Géométrie, se trouvait hors de la portée du raisonnement.

392. Le rapport de la circonférence au diamètre est d'une si grande importance, qu'après avoir démontré qu'il était incommensurable, on a cherché du moins à en approcher de manière à rendre l'erreur sans influence sensible. On a même été bien au delà des besoins de la pratique; on a eu la curiosité de connaître plus des cent cinquante premières décimales ; et il est inutile de dire qu'on n'a jamais eu besoin d'employer une aussi grande approximation.

Dans les calculs on désigne le rapport, supposé exact, par la lettre tt ; de sorte que, si l'on appelle R le rayon d'un cercle, le rapport de sa circonférence à 2R sera 7:, et la circonférence sera exprimée par 2 7rR.

393. Les angles au centre ayant entre eux le même rapport que les arcs compris entre leurs côtés, on pourrait prendre ces arcs mêmes, évalués en nombres, comme mesure des angles ; il suffirait pour cela que l'angle pris pour unité interceptât entre ses côtés un arc égal à l'unité de longueur. Alors le nombre qui exprimerait un angle quelconque serait le même que celui qui exprimerait l'arc qu'il intercepte. Pour l'évaluation des arcs d'un cercle, l'unité la plus naturelle à choisir est le rayon lui-même ; et les angles se trouvent mesurés par le rapport de l'arc au rayon, qui est indépendant du rayon choisi. Alors la demi-circonférence sera exprimée par tt, et ce sera la mesure de deux angles droits : l'angle unité sera celui qui interceptera entre ses côtés un àrc égal au rayon. On l'obtiendrait en degrés en faisant la proportion

7r : I : : 1 80 : a: , d'où