COMPARAISON DES VOLCMES DES PYRAMIDES

39d. Après avoir ramené la comparaison des parallélépipèdes, et ensuite des prismes quelconques, à la considération de l'égalité, les anciens géomètres se sont trouvés arrêtés pour la comparaison des pyramides, soit entre elles, soit avec les prismes. Ils ont été obligés, pour y parvenir, d'avoir recours au même procédé que pour les cercles, et d'envisager la pyramide comme limite de quantités d'espèce plus simple.

Euclide commence par démontrer que toute pyramide triangulaire peut être décomposée en deux prismes triangulaires équivalents, dont l'un a pour base le quart de celle de la pyramide, et pour hauteur la moitié de celle de la pyramide ; et en outre de deux pyramides semblables à la

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première, ayant leurs arêtes respectivement égales à la moitié de leurs correspondantes dans celle-ci. On reconnaît de plus immédiatement qu'une de ces pyramides est plus petite que l'un des prismes ; de sorte que la somme des volumes des deux prismes est plus grande que la moitié du volume de la pyramide proposée.

D'après cela, si l'on répète une construction analogue dans chacune des deux nouvelles pyramides, les. quatre pyramides qui resteront après qu'on en aura enlevé les prismes formeront une somme moindre que leur moitié : et, en continuant ainsi, on voit, par un raisonnement déjà employé, que l'on peut pousser l'opération assez loin pour que la somme des pyramides qui resteront après l'enlèvement successif de tous ces prismes forme un volume moindre que tout volume donné, proposition qui dans notre langage s'énoncera ainsi :

Toute pyramide triangulaij^e peut être considérée comme la lim^ite d^une somme de groupes de prismes triangulaires en nombre indéfini.

On se rappellera que ceux d'un même groupe sont égaux entre eux ; que leur nombre est double de ceux du groupe précédent, et leurs arêtes moitié moindres : d'où il résulte que la somme des prismes d'un même groupe est le quart de celle du groupe précédent.

396. Deux pyramides de base équivalente et de même hauteur sont é qui iraient es.

Pour comparer ces pyramides, Euclide commence par les considérer comme limites de sommes de prismes, au moyen de la décomposition que nous venons d'indiquer.

Or ceux qui composent les divers groupes sont équivalents dans les deux pyramides, qui ont des bases équivalentes et des hauteurs égales. Car les prismes du premier ordre auront par suite des bases équivalentes et même hau-