CHAPITRE VII

teur, et seront équivalents. La valeur du premier groupe étant la même dans les deux pyramides, celle du second qui en est le quart sera la même de part et d'autre, et ainsi de suite indéfiniment. La somme d'un même nombre de groupes sera donc la même des deux côtés, à partir du premier.

Ces deux sommes sont donc deux variables égales, ayant pour limites respectives les deux pyramides. Leurs limites ont donc des valeurs égales, ce qu'il fallait démontrer.

397 . Une pyramide triangulaire a pour mesure le tiers du produit de sa base par sa hauteur.

En s'appuyant sur la proposition précédente, Euclide démontre facilement que toute pyramide triangulaire est le tiers d'un prisme de même base et même hauteur. D'où il suit que la mesure du vqlume de la pyramide est le tiers de celle du prisme, qui est le produit de sa base par sa hauteur. De là résulte la proposition énoncée.

Et cela signifie que le rapport de ce volume au cube construit sur l'unité de longueur est le tiers du produit des deux nombres qui expriment respectivement les rapports de la base au carré fait sur l'unité de longueur et de la hauteur à cette dernière unité.

398. Autre solution. — La considération d'une pyramide, comme limite d'une série de groupes de prismes, a eu pour objet ici de comparer deux pyramides ; mais on peut la faire servir directement à la mesure même de la pyramide.

En effet , si l'on désigne par b et h les nombres qui mesurent sa base et sa hauteur, chacun des deux premiers

hh , , ,

prismes aura pour mesure -^t-î et la valeur du premier

groupe sera -j- • ^^s groupes formeront par conséquent la

4^8 SCIENCE DE l'étendue.

série suivante :

bh hh hh

C'est une progression géométrique dont Arcliimède a donné la formule de la somme, ainsi que sa limite qui

bh est-.

Or, dans le cas actuel, les variables sont la valeur de la somme des mesures des groupes, et la valeur de la somme des termes correspondants de la série. Les limites de ces deux variables, toujours égales, devant être égales, le volume de la pyramide aura pour mesure —•

399. Troisième solution de la même question. — Pour donner un exemple des différentes manières dont une même grandeur peut être utilement considérée comme limite d'une variable, nous regarderons la pyramide comme limite, non plus de la somme des termes d'une série, mais d'une somme de quantités infiniment petites, et nous ferons usage du procédé général qu'Archimède a fait connaître.

Nous couperons la pyramide par une suite de plans parallèles à la base, et divisant la hauteur en parties égales indéfiniment décroissantes. Nous considérons chacune des sections triangulaires comme la base d'un prisme ayant ses arêtes parallèles à l'une de celles de la pyramide, dirigées vers le plan de la base, et terminées au plan parallèle voisin ; la somme de ces prismes sera moindre que la pyramide. En dirigeant les arêtes en sens contraire, on aurait une somme de prismes plus grande que la pyramide. Ces deux sommes se composeront des mêmes prismes, à l'exception du plus grand, qui sera l'excès de la somme des prismes extérieurs sur l'autre ; cet excès sera un prisme ayant la base de la pyramide, et une hauteur égale à une des subdivisions de