CHAPITRE YIl

dont la somme est

puisque

27rMN(CQ4-C'Q) ou 47rOI.MN,

CQ-hC'QztzoOI.

Cette somme étant indépendante de la position des deux côtés symétriques, il suffira de la répéter autant de fois qu'il y a de côtés compris dans la demi-circonférence, pour avoir la mesure de la surface totale engendrée par le périmètre du polygone. On obtiendra ainsi 4^:01 multiplié par le demi-périmètre. La limite vers laquelle tend ce produit, quand le nombre des côtés augmente indéfiniment, sera 4^C)I multiplié par la demi-circonférence du cercle, ou le produit de la circonférence du cercle générateur par 2 71 01, qui mesure la circonférence que décrit son centre. Telle est l'expression de la surface du tore.

MA. Volume du tore. — Concevons le cercle décomposé par des perpendiculaires à l'axe XY {fi g- 48)> dont la distance diminue indéfiniment; la partie du volume cherché, qui sera engendrée par la surface MNM'N' comprise

Fig. /,8.

entre deux parallèles consécutives, ne différera de celle engendrée par le rectangle MM'H'H que d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même ; d'où il suit que le

44^ SCIENCE DE L*ÉTENDUE

volume cherché peut être considéré comme la limite de la somme de ceux qu'engendreront tous les rectangles compris entre les parallèles prises depuis A jusqu'à B.

Or le volume engendré par MM'H'H est la différence de deux cylindres dont les mesures respectives sont

ttMÎp'.MH et ttM^'.MH, et donnent pour différence

ttMhImp' — SFp') ou 7rMH(MP— M'P) (MP+M'P),

ou enfin

27rOI.MH.MM'.

Mais MH.MM' est l'aire du rectangle MM'H'H, et la somme de ces aires a pour limite celle du cercle. Le volume du tore aura donc pour mesure 2 7:01, multiplié par la surface du cercle, c'est-à-dire le produit de cette surface par la circonférence décrite par le centre.

415. V^olume engendré par un segment de cercle tournant autour de sa corde. — Soient [fig. 49) CMD le segment, AB le diamètre parallèle à la corde, 01 la distance de ces deux droites; MPQ, M'P'Q' deux perpendiculaires à CD, infiniment voisines l'une de l'autre; le volume cherché sera la limite de la somme des cylindres engendrés par les rectangles, tels que MP', pris depuis G jusqu'à D.

L'expression générale de ces cylindres sera

ttMp'.PP' ou tt (mq' — 2MQ.PQ+Pq') PP';

et il ne s'agit plus que de prendre les limites des sommes relatives à ces trois termes.

La première, ou la limite de la somme des éléments

ttMQ .PF, sera la mesure de la portion de la sphère de