CHAPITRE Vif

Soit noL l'angle formé avec AB par le rayon d'un quelconque des secteurs, ce rayon aura pour valeur anoL\ le cercle entier décrit de ce rayon aurait donc pour surface T.a^n^aP-^ et par conséquent le secteur aura pour mesure cette expression, multipliée par le rapport de a à quatre

angles droits, que nous représenterons par y—: on obtiendra ainsi

Cela posé, pour avoir l'une des sommes des secteurs, par exemple la plus grande, il faudra donner à n toutes les valeurs depuis i jusqu'à m dans l'expression précédente, et ajouter les résultats, ce qui donnera

Or, c'est à cette occasion qu'Archimède a cherché la formule de la somme des carrés des nombres naturels, que nous avons déjà eu occasion d'appliquer. Cette formule pour les nombres de i à m est, comme nous l'avons dit,

L'expression de la somme des secteurs deviendra ainsi

Tz a? ma[/wa-|-a)(a/72«-4-a)

et, remplaçant ma par sa valeur 0,

T,a? ô^(9 H-a) (aô-f-a)

4d" " TTâTs

Maintenant que nous avons l'expression générale de 1^ variable, dont la limite est la quantité cherchée, nous savons qu'il suffit, pour avoir la mesure de celle-ci, de rem-

44o SCIENCE DE l'ÉTENDUE.

placer dans l'autre les variables par leurs limites. Or la seule variable qui y entre est a, dont la limite est zéro. L'aire cherchée a donc pour mesure

Telle est l'expression à laquelle conduit la formule de notre calcul; mais il est facile de lui donner la forme même suivant laquelle Archimède l'a présentée.

En effet, oi^6^ est le carré du rayon extrême AM, et ttAM est la surface du cercle de rayon AM ; l'expression précédente est donc équivalente au tiers du cercle AM multiplié

par 7— î c'est-à-dire au tiers du secteur circulaire MACil.

413. Surface du tore. — Le tore est le solide engendré par un cercle qui tourne autour d'une droite située dans son plan.

Soient O le centre de ce cercle, AB le diamètre parallèle à l'axe de révolution XY [fig . 47 ) ; AMN ... B ... N'A un polygone d'un nombre pair de côtés, inscrit dans le cercle ;

Fig. 47.

MN, M'N' deux quelconques de ses côtés, symétriques par rapport à AB ; G, G' leurs milieux.

Les surfaces des troncs de cônes engendrés par MN et M'N' auront respectivement pour mesures

277GQ.MN et 27rC'Q.M'N',