CHAPITRE VIL

EXTRACTION DES RACINES. - NOUVELLE EXTENSION DONNÉE A L'IDÉE DE NOMRRE.

72. Les produits d'un nombre par lui-même se nomment les puissances de ce nombre ; leur degré est le nombre de fois qu'il est facteur. Relativement à ses puissances, le nombre s'appelle racine.

Nous ne parlerons pas des procédés à suivre pour trouver la racine d'un degré quelconque d'un nombre donné ; nous renvoyons pour cela aux Traités d'Arithmétique.

Si l'on formait les puissances d'un même degré des nombres entiers consécutifs, on obtiendrait des nombres entiers qui différeraient de plus d'une unité : les nombres entiers compris entre deux puissances consécutives auraient donc leurs racines comprises entre deux nombres entiers consécutifs, et par conséquent non entières.

Or les théorèmes sur les facteurs premiers démontrent qu'un nombre fractionnaire élevé à une puissance quelconque ne peut produire un nombre entier. Donc les nombres entiers compris entre deux puissances consécutives ne peuvent avoir ni racine entière ni racine fractionnaire ; ils n'auraient donc aucun nombre pour racine, puisque nous ne reconnaissons encore que des nombres entiers ou fractionnaires.

On pourra bien trouver des nombres fractionnaires dont la puissance sera aussi voisine qu'on voudra du nombre proposé ; mais aucun ne pourra le produire aussi exactement.

Le même inconvénient se rencontre dans l'évaluation (les grandeurs concrètes en nombres. Celles qui ont une commune mesure avec l'unité choisie peuvent être exprimées par un nombre entier ou fractionnaire ; celles qui n'en ont pas ne peuvent pas l'être. Dans la pratique, il est vrai, les choses se passeront toujours comme s'il y avait une commune mesure, parce que les subdivisions de l'unité deviendront assez petites pour que le reste de la grandeur à évaluer soit imperceptible. Mais, quand il s'agit de grandeurs liées par des relations purement théoriques, on peut démontrer qu'il n'existe pas de mesure commune entre elles, et alors l'évaluation exacte de l'une d'elles est reconnue impossible au moyen des subdivisions de l'autre en parties égales. Si, par exemple, on voulait évaluer la diagonale du carré dont le côté est pris pour unité, on ne pourrait le faire au moyen d'aucun nombre entier ou fractionnaire, parce qu'on démontre qu'il n'y a pas de commune mesure entre la diagonale et le côté d'un carré. Et si, pour échapper à cette difficulté, on changeait l'unité, il serait toujours impossible d'évaluer avec une même unité quelconque la diagonale et le côté. Il faut donc ou donner de l'extension à l'idée de nombre, ou dire qu'il y a des grandeurs qui peuvent être exprimées en nombres avec une certaine unité, et ne le pourraient avec une autre ; et que dans une même question on peut avoir à considérer des grandeurs qui ne sont pas susceptibles toutes d'être exactement exprimées en nombre, quelque unité qu'on choisisse.

73. Et nous ferons ici une remarque applicable à toutes les questions sur les nombres. Elle consiste en ce que, quelle que soit la nature des opérations effectuées en vue de déterminer la valeur d'un nombre, si ces opérations ne s'arrêtent jamais, et que les restes à évaluer après chacune