CHAPITRE VU

d'elles soient mesurés avec des subdivisions de Funité qui décroissent continuellement et puissent devenir moindres que toute valeur désignée, la recherche de ce nombre peut toujours être considérée comme identique avec celle qui aurait pour but la mesure d'une quantité concrète déterminée.

En effet, si sur une ligne droite indéfinie nous portons à partir d'un de ses points un nombre entier ou fractionnaire d'unités de longueur égal au résultat de la première opération numérique ; qu'à la suite de cette longueur on en porte une autre, mesurée par le résultat numérique de la seconde opération , et ainsi de suite indéfiniment, la longueur totale à partir de l'origine fixe ira constamment en augmentant ; mais on peut à chaque opération assigner un point qu'elle ne pourra atteindre, et il suffira pour cela de lui ajouter une des subdivisions de l'unité qui se rapportent à cette opération. Or l'extrémité de la longueur variable s'avançant toujours dans le même sens, et ne pouvant cependant jamais atteindre des points fixes assignables, tend nécessairement vers une position déterminée qu'elle n'atteindra jamais, puisqu'elle doit toujours être en mouvement, mais dont elle sera éloignée d'une quantité qui deviendra au-dessous de toute quantité donnée. La distance de l'origine à ce point limite est donc une quantité déterminée, dont l'évaluation au moyen de l'unité choisie conduirait identiquement aux mêmes résultats numériques successifs, que les opérations purement abstraites aux- (|uelles conduisait la question proposée.

Toutes les exceptions et anomalies résultant du point de vue sous lequel nous avons jusqu'ici envisagé les nombres se résument donc dans ce simple énoncé :

(( Lorsqu'une quantité concrète d'espèce quelconque varie d'une manière continue, elle passe par une infinité de valeurs qui sont exprimables en nombres, et par une

infinité d'autres qui ne le sont pas ; car, dès qu'il y en a une non exprimable, toutes ses subdivisions en parties égales, ainsi que leurs multiples, seront dans le même cas. » Il est évident qu'on ne pouvait laisser subsister une pareille anomalie dans la science.

74. C'est pour faire disparaître ces exceptions qu'on a donné une nouvelle extension à l'idée de nombre ; on n'a pas voulu que les seules grandeurs ayant une mesure commune avec l'unité fussent regardées comme exprimables en nombres ; et l'on a étendu cette dénomination à la manière d'être relative^ au rapport de deux grandeurs quelconques, ayant ou n'ayant pas de mesure commune.

Mais il ne suffira pas que l'on convienne de dire que deux grandeurs incommensurables ont entre elles un rapport que l'on désignera sous le nom de nombre incommensurable; il faudra définir rigoureusement V égalité des rapports incommensurables.

Observons d'abord qu'en partageant l'une des grandeurs en parties égales suffisamment petites, et les portant dans Tautre autant de fois que possible, le reste qui sera moindre que l'une des parties pourra être rendu moindre que toute grandeur donnée; de sorte qu'il existera un rapport commensurable entre l'une quelconque des deux grandeurs et une autre qui différera aussi peu qu'on voudra de la seconde.

Gela posé, considérons deux grandeurs incommensurables l'une par rapport à l'autre ; divisons l'une d'elles, par exemple la plus petite, en parties égales, et portonsles dans la plus grande autant de fois que possible : il y aura un reste moindre que l'une d'elles. Concevons que le nombre des subdivisions égales de la plus petite augmente indéfiniment ; pour chacune de ses valeurs le reste de la plus grande diminuera, et deviendra moindre que toute grandeur