CHAPITRE XII. Io

leurs polynômes respectifs ; et le signe est — quand ils ont des signes différents. Dans cette manière d'énoncer la règle, on entend que le premier terme qui n'est précédé d'aucun signe sera regardé comme affecté du signe -f-, signe qu'il aurait effectivement si on le changeait de place dans le polynôme. Cette règle des signes a été démontrée sans difficulté, et nous l'admettrons; mais nous ferons bien observer qu'elle n'a de sens et qu'elle n'a été démontrée que dans le cas où les termes affectés du signe — sont précédés de termes additifs dont ils doivent être retranchés.

i06. Quant à l'ordre des termes dans ces polynômes, il peut être choisi pour certains avantages, de telle sorte que les termes négatifs ne soient pas précédés d'assez de termes positifs pour pouvoir être retranchés. Mais il faut toujours entendre que l'ensemble des termes négatifs est à retrancher de l'ensemble des termes positifs , et faire les démonstrations dans ce sens. Et s'il est plus commode d'ordonner les termes de manière à leur faire indiquer des opérations impossibles, et même de commencer par un terme négatif, il n'y a aucun inconvénient, pourvu qu'on suive les règles démontrées d'après la signification réelle, et qui donneront le même résultat, sauf l'ordre des termes, que l'on trouverait en disposant les termes des polynômes sur lesquels on opère, de manière à éviter toute indication d'opération impossible.

Et quant à la composition des termes du produit, on reconnaît facilement qu'ils résultent toujours de la multiplication d'un terme du premier par un terme du second ; que chaque terme du premier sera ainsi combiné avec tous ceux du second, mais une seule fois avec chacun^ de sorte qu'on aura les mêmes termes identiquement au produit, quel que soit celui des deux polynômes qu'on prenne pour le multiplicande.

D'après cette remarque, si ce produit devait être multiplié par un troisième polynôme, les termes de ce nouveau produit résulteraient nécessairement de la multiplication de trois termes pris respectivement dans les trois polynômes, et toute combinaison d'un terme du premier par un du second et un du troisième s'y trouvera une seule fois ; de sorte qu'on aura encore les mêmes termes dans le produit de trois polynômes, quelque ordre qu'on mette dans leur multiplication.

Et cette remarque se faisant continuellement en multipliant les produits successifs par un nouveau polynôme, on arrive à cette proposition que :

« Le produit d'un nombre quelconque de polynômes est le même dans quelque ordre qu'on les multiplie ; que chaque terme du produit se forme de la multiplication de termes pris respectivement dans chacun des polynômes ; que toute combinaison de ces termes ainsi faite, sans tenir compte de l'ordre, concourt à former un terme du produit, mais ne se rencontre qu'une fois. »