CHAPITRE XIII. III

traire il pourrait y en avoir de perdues si l'inverse avait lieu.

Cela posé, cherchons un procédé général pour mettre les problèmes en équation.

On remarquera d'abord que, si l'on s'est bien pénétré de toutes les conditions de la question, on doit être généralement en état de vérifier si des nombres désignés y satisfont ; et c'est même là un premier exercice très-utile pour les élèves. Cela posé, si l'on représente les nombres inconnus par des lettres et qu'on indique sur eux et sur les données précisément les mêmes opérations que l'on aurait faites sur des nombres particuliers pour vérifier s'ils conviennent, les comparaisons auxquelles cette vérification aurait nécessairement conduit seront changées en relations nécessaires et suffisantes pour que les inconnues satisfassent à la question.

Cette marche consistera donc, si l'on procède par déduction, à partir des conditions de la question, à en tirer des conséquences en les supposant satisfaites, jusqu'à ce que l'on arrive aux comparaisons d'où résulteront les équations : et par conséquent c'est la méthode analytique qui conduira aux équations du problème. Et si l'on procède par réduction, on suivra encore la marche analytique. Mais dans l'un ou l'autre cas, si la réciprocité n'a pas lieu, il y aura des solutions étrangères ou des solutions perdues.

Si la question doit conduire à plusieurs équations, la vérification se décomposera naturellement en plusieurs autres dont on s'occupera successivement. Toutes les fois qu'une question peut être décomposée en plusieurs autres, on commence par opérer cette réduction, qui est la première chose indiquée par l'analyse.

110. Telle est la marche générale à suivre pour ramener les problèmes à des résolutions d'équations. Son applica-

lion varie avec la nature de la question, et peut offrir des difficultés lorsque les conditions sont compliquées ; mais on n'en peut dire davantage tant que la nature de ces conditions reste indéterminée ; et l'on en comprendra tout l'avantage si l'on réfléchit que, quand des conditions sont bien comprises, il doit en général être assez facile de vérifier si elles sont remplies.

Cette règle est indépendante de la nature, tant des questions proposées, que des équations auxquelles elle conduit. Il y a des classes d'équations pour lesquelles on peut donner des procédés généraux de résolution ; il en est d'autres pour lesquelles on n'en connaît pas. Mais, dans tous les cas, cette réduction des problèmes à la résolution des équations est un premier pas nécessaire ; et le problème auquel on est ainsi ramené forme une partie considérable de la science des nombres.

C'est de ce problème que nous allons, commencer à nous occuper.