CHAPITRE PREMIER

COM.MENT LES NOMBRES SERVENT A L'EXPRESSION DES GRANDEURS. — LEUR NOMENCLATURE.

19. Les plus simples relations des hommes entre eux ont de tout temps nécessité l'emploi des nombres. A mesure que ces relations se sont compliquées, que les échanges sont devenus plus multipliés et plus variés par le progrès de l'industrie, que les communications entre les peuples se sont plus étendues, l'emploi des nombres est devenu de plus en plus indispensable, et l'on peut même dire que sans eux presque toutes les relations commerciales seraient impossibles.

Et, en effet, toutes les quantités ou grandeurs qui sont utiles à l'homme et peuvent devenir l'objet de ses transactions sont de celles où l'on peut concevoir l'égalité et l'addition. Or, si l'on choisit une quantité bien déterminée dans chaque espèce et connue de tous les hommes, il est facile de voir comment ils peuvent se donner connaissance les uns aux autres de toute quantité de cette espèce, qu'ils ne peuvent montrer, soit à cause d'impossibilités matérielles, soit parce que la vue n'en donnerait qu'une notion imparfaite et inutile. Pour y parvenir, on compa-

rera la quantité à évaluer à celle qui est connue de tous et qu'on appelle Vunité de cette espèce; on cherchera, par des procédés dépendant de la nature de cette quantité, combien de fois elle contient l'unité, et ce nombre en donnera la mesure, la connaissance exacte, si elle a été ainsi entièrement épuisée.

Mais si, après avoir ôté de la quantité à évaluer autant d'unités entières qu'elle en renferme, il y avait en outre un reste moindre que l'unité, on le comparerait à une subdivision de l'unité en un nombre déterminé de parties égales, dont l'une serait employée comme l'avait été premièrement l'unité entière. Si, après cette seconde opération, il y avait encore un reste, on le mesurerait avec une subdivision de la première subdvision de l'unité, et l'on continuerait ainsi jusqu'à l'entier épuisement de la quantité qu'on veut évaluer. Dans la pratique, cette suite d'opérations a toujours une fin, parce qu'on arrivera toujours à un reste trop petit pour être appréciable avec les instruments les plus parfaits. Mais, dans les questions abstraites où les quantités ne sont pas données en nature, mais par les rapports qu'elles doivent avoir avec d'autres, soit numériques, soit géométriques, on ne sera exposé à aucune incertitude tenant à l'imperfection des sens. Il pourra se faire, dans ce cas, que l'opération se termine en employant une seule ou plusieurs subdivisions successives de l'unité. 11 sera possible qu'elle se termine en choisissant une certaine loi pour s€s subdivisions, tandis qu'elle se continuerait indéfiniment avec une autre. Il sera possible enfin qu'elle ne se termine jamais, quelque loi qu'on choisisse pour les subdivisions successives : c'est le cas où il n'y a aucune mesure commune entre la grandeur à évaluer et celle qui est prise pour unité, comme, par exemple, si l'on veut mesurer la diagonale d'un carré en prenant le côté pour unité.