DONNÉES PREMIÈRES RÉSULTANT DE LA NATURE DES NOMBRES

4. L'idée des nombres est tellement simple, que les axiomes qui s'y rapportent se réduisent à presque rien et ne sont réellement que le développement naturel de cette idée même.

On formerait toutes les pluralités en partant d'un seul objet qui n'offrît pas l'idée de pluralité, mais de ce que nous appellerons unité, puis en lui en joignant un autre, puis un nouveau, et ainsi de suite indéfiniment. Et, comme nous appelons nombres toutes ces diverses pluralités, en y com-

prenant même l'unité, on voit que la suite des nombres est illimitée, que le plus petit est l'unité, ou le nombre un, et que tous les autres se forment successivement par l'addition constante de l'unité au dernier formé.

2. La première idée qu'on se fait de la pluralité entraîne cette autre que, dans quelque ordre qu'on place les objets et de quelque manière qu'on les partage en groupes séparés, pourvu qu'on n'en retire aucun et qu'on n'en introduise pas de nouveau, la pluralité ne change pas et le nombre reste toujours le même.

3. Si l'on considère deux ensembles différents d'objets et qu'on fasse correspondre, parla pensée ou autrement, un premier objet de l'un avec un premier objet de l'autre, un second avec un second, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'un des deux ensembles soit épuisé, il pourra arriver deux cas :

Ou le second sera épuisé en même temps que le premier, et la pluralité sera la même dans les deux : on dira alors que les nombres correspondants sont égaux ;

Ou l'un des deux ensembles sera épuisé avant l'autre, et alors on dira que le nombre correspondant à cet autre est plus grajîd que celui qui correspond au premier, et que celui-ci est plus petit que l'autre.

4. Si l'on a plusieurs groupes d'objets et qu'on les réunisse tous ensemble, le nombre qui en résultera s'appellera la somme des nombres correspondant à ces divers groupes, et l'on dira que ceux-ci ont été ajoutés ou additionnés enlre eux; on les appellera des parties de la somme, qui s'appelle aussi, par rapport à elles, le total ou le tout. Ce nombre total sera, d'après ce que nous avons dit, indépendant de l'ordre dans lequel on aura réuni ou ajouté tous ces objets et de la manière dont on aura pu fractionner ces groupes

pour les transporter ensemble, soit effectivement, soit simplement par la pensée, pourvu qu'aucun objet ne soit supprimé et aucun nouveau introduit. Le nombre total des objets sera ainsi la somme des nombres partiels correspondant à ces groupes ou à leurs fractionnements arbitraires ; et, comme ce nombre total est invariable, on peut énoncer cette proposition générale :

« De quelque manière qu'on ajoute plusieurs nombres, en les décomposant comme on voudra, on obtiendra toujours la même somme. »

Nous nous bornerons à ces notions bien simples, qui, comme nous l'avons dit, ne sont que des développements de l'idée des nombres et suffisent pour faire de la science des nombres ce que nous avons appelé une science de raisonnement.

DONNÉES PREMIÈRES DE LA SCIENCE DE l'ÉTENDUE.

5. Les corps matériels nous donnent les idées d'étendue, de forme, de situation les uns par rapport aux autres; et, comme nous l'avons dit, notre esprit peut faire abstraction de tout ce qui tient à leur nature matérielle pour n'y voir que leur figure. Il y conçoit une continuité et une régularité qu'ils sont bien loin d'avoir réellement, et c'est en leur donnant cette perfection idéale qu'il les soumet à ses investigations et forme la science de raisonnement qui s'appelle la Géométrie.

Il est dans la nature de l'esprit humain d'aller toujours au delà de ce que les sens lui présentent. Aussi, quoiqu'il ne connaisse par leur moyen que des corps très-limités, conçoit-il la possibilité que ces limites soient beaucoup moins resserrées, et ne voit-il même aucune borne assignable à leur étendue, soit idéale, soit même matérielle.

Cette conception fait naître chez la plupart des hommes l'idée qu'il existe ce qu'ils appellent un espace indéfini, indépendant de l'existence d'aucun corps, et qui subsisterait après l'anéantissement complet de tout ce qui est, matériel ou spirituel. Ils se figurent que, par cela seul qu'on admet la possibilité des corps, on doit admettre qu'il y avait de la place pour les recevoir ; et de la pure abstraction qui nous fait concevoir la matière et la figure comme susceptibles d'une étendue sans borne, ils font la réalité d'un être qu'ils nomment Vespace. Il est difficile de pousser l'aberration plus loin ^ et cela est cependant si naturel, que bien peu d'hommes seront d'abord de notre avis sur ce point, qui a déjà été l'objet de bien des controverses.

Mais, si l'on suppose pour un instant que rien n'existe et qu'un corps vienne à être créé, quel obstacle pourrait-il rencontrer? Que pense-t-on quand on dit qu'il fallait une place pour le recevoir? Dès qu'il a été créé, il a une étendue; on peut sans aucun doute faire abstraction de sa matérialité pour ne plus voir que sa figure : on a ainsi une idée d'étendue qu'on pourrait conserveraprès l'anéantissement de toute matière ; mais ce serait une simple idée existant dans notre esprit et n'ayant aucune réalité en dehors.

Après s'être créé ce fantôme, si l'on vient à y appliquer son attention et à chercher à se rendre compte de son existence, on se trouve saisi d'une sorte d'effroi, comme il arrive toutes les fois qu'on veut sonder quelque mystère impénétrable à l'esprit humain. Un être infini dans tous les sens et indépendant de toute création confond l'imagination ; il est aussi difficile à concevoir que Dieu lui-même : néanmoins, personne presque ne doute de son existence ; ceux-là même y croient qui ne croient pas à l'existence de Dieu.

Et cependant cet être prétendu n'est que le produit de l'imagination de l'homme; ce qui est vrai, c'est qu'il n'y a pas de limite à l'étendue possible de la création et, par suite.

à l'étendue abstraite des objets créés ; et cet espace fantastique, que l'on semble croire destiné èi^recevoir ces objets, ou même simplement leurs figures, n'est pas une chose : c'est V absence de toute chose, c'est le néant.

6. La première notion d'étendue que nous recevons des corps solides n'est pas la seule dont ils nous donnent l'idée. La limite de leur étendue, ou leur surface, constitue une autre espèce d'étendue d'une nature toute différente, puisque l'intérieur du corps, qui est considéré dans la première, ne l'est pas dans celle-ci. Enfin, si l'on considère une portion de la surface d'un corps, elle est terminée par ce que l'on appelle une ligne, et la ligne donne l'idée d'une nouvelle espèce d'étendue entièrement différente des deux autres. Si l'on considère une portion de ligne, les limites de son étendue, ou ses extrémités, n'offrent l'idée d'aucune espèce d'étendue et se nomment des points. Ces trois sortes d'étendue portent les noms d'étendue en solidité ou volume, en suif ace et en ligne. On les comprend tout'es sous la dénomination de grandeurs géométriques.

7. Deux grandeurs géométriques, de quelque espèce qu'elles soient, sont dites égales, lorsqu'on peut transporter l'une des deux, en ne changeant rien en elle, de manière qu'elle coïncide complètement avec l'autre. Cette translation offrirait des difficultés et même des impossibilités dans le cas des corps solides, si l'on n'avait pas fait abstraction de leurs propriétés matérielles, et particulièrement de l'impénétrabilité. Nous ne considérons que la figure des corps, des surfaces et des lignes, et ces images idéales ne peuvent offrir aucun obstacle à la pénétration.

Lorsqu'une quantité se compose d'une quantité égale à une seconde et d'un reste quelconque, on dit qu'elle est plus grande que la seconde ; la seconde est dite plus petite que

la première et s'appelle aussi une partie de la première. Une grandeur, relativement aux parties dont elle est formée, se nomme un tout; elle est dite la somme des différentes grandeurs qui la constituent.

Ainsi, d'après le sens que nous attachons aux mots tout, partie, plus grand, plus petit, on voit qu'un tout est plus grand qu'une de ses parties, ou que la partie est plus petite que le tout. C'est donc à tort qu'on fait de cette proposition un axiome fondamental, que quelques auteurs des Traités de Géométrie demandent qu'on admette comme évident et placent au milieu de leurs postulata ou vérités indémontrables. Cette méprise, un peu forte il est vrai, consiste à prendre pour une mérité de sentiment ce qui n'est qu'une vérité de définition.

8. Nous nous occuperons d'abord de l'étendue ou de la figure dans le cas le plus simple, le plus réduit, dans le cas des lignes.

De toutes les lignes, celle qui présente la figure la plus simple, et dont la considération se présente le plus souvent dans la Géométrie, est la ligne droite : on en a donné des définitions assez diverses.

Les auteurs les plus célèbres de nos jours appellent ligne droite la plus courte ligne qui puisse être menée d'un point à un autre, définition qui est entièrement défectueuse. En effet, elle ramène une notion à d'autres que l'on n'a pas, et qui sont beaucoup moins simples que la première. Qu'entend-on, en effet, par une ligne plus grande qu'une autre? C'est celle qui se compose d'une partie égale à la première et d'un reste quelconque. Or deux lignes égales sont celles qui peuvent coïncider, et par conséquent l'égalité ne peut être conçue entre deux lignes dont la figure ne se prête pas à la superposition. Quelle idée peut-on se faire alors de cette définition donnée au commencement même de la

Science, lorsque l'on n'a pu encore faire savoir ce que l'on appelle lignes d'égale longueur, dans le cas où il ne peut y avoir coïncidence? Nous rejetons donc entièrement cette définition, qui a encore l'inconvénient de ne donner aucune idée de la figure de la ligne droite à ceux qui ne l'auraient pas déjà.

9. Euclide n'était pas tombé dans cette faute et n'avait pas introduit dans sa définition la considération de. la longueur ; mais elle pèche un peu par la clarté et a pu donner lieu à des interprétations diverses. La ligne droite, dit-il, est celle qui H l'aou xsîTâi Icp' laux^ç <7r,[X£ioiç, c'est-à-dire qui repose également sur ses points. Or que faut-il entendre par là? Veut-il dire que, si l'on considère deux quelconques de ses points, elle ne pourrait être posée sur eux de plusieurs manières différentes, de sorte que, par deux de ses points, on ne peut concevoir une seconde ligne droite? Supposerat-on, au contraire, que cette similitude entre ses points se rapporte aux différentes parties de la droite? Cela n'est pas vraisemblable ; car cette identité de forme dans toute l'étendue d'une ligne s'appliquerait aussi bien au cercle et à l'hélice qu'à la ligne droite. Ce qui est bien certain, au reste, c'est qu'il n'y a rien dans cette définition qui puisse faire supposer qu'Euclide considérait la droite comme la ligne la plus courte qu'on puisse mener entre deux quelconques de ses points; et cela est d'autant plus certain, qu'il démontre plus tard très-rigoureusement que toute ligne droite est plus petite qu'une ligne brisée terminée à ses deux extrémités. Ajoutons enfin qu'Archimède a mis au nombre des principes que la ligne droite est la plus courte de toutes celles qui ont les mêmes extrémités, et que la ligne concave est plus courte que toute ligne qui l'enveloppe; ce qui montre bien qu'il ne regardait pas la ligne droite comme ayant été définie par cette propriété.

Nous sommes porté à admettre la première explication, et nous croirons être d'accord avec Euclide en appelant ligne droite une ligne indéfinie telle, que par deux points donnés on n en peut faire passer qu une seule.

Et celte propriété que nous prenons pour définition d'une forme particulière de lignes entraîne cette autre, que, si l'on en prend une portion quelconque et qu'on la transporte de manière que les deux extrémités soient tout autre part sur la même ligne, les deux portions comprises entre ces deux points coïncideront, et la forme de cette ligne est partout la même.

La définition que nous adoptons a l'avantage de donner une idée bien nette de cette forme. Il suffît de se représenter une ligne dont deux points resteraient les mêmes, et qu'on essayerait de déplacer d'une manière quelconque. On aura bientôt exclu toutes les formes qui ne satisferaient pas à la condition de coïncidence constante exigée par la définition, et il ne restera comme y satisfaisant que cette ligne dont tout le monde a le sentiment bien avant d'en avoir une définition.

Toute ligne qui n'est ni droite ni composée de lignes droites s'appelle ligne courbe, ou simplement courbe.

10. A partir d'un point d'une droite, on peut considérer deux côtés différents donnant lieu à ce qu'on appelle les directions opposées de la droite en ce point. La tendance naturelle de l'homme à rapporter tout à lui-même fait souvent désigner ces deux directions parles noms de gauche et droite, et, dans certains cas, cette image contribue à donner une idée claire des positions ou des mouvements.

i\. Toutes les droites indéfinies coïncidant quand elles ont deux points communs, rien n'est plus facile que de porter sur une droite indéfinie, à partir d'un de ses points et

lO OBJET ET DONNÉES

dans le même sens, des droites égales à des droites données. C'est ce qu'on appelle ajouter les longueurs de ces lignes ; et l'on dit que la droite comprise entre les deux points extrêmes a une longueur égale à la somme de toutes les autres.

12. Remarque. — Nous avons compris dans la définition de la ligne droite ces deux propriétés, que, lorsque deux de ses points sont fixés, la ligne ne peut avoir qu'une seule position tant entre ces deux points qu'au delà ; mais il serait possible de rendre sensible que la seconde propriété est renfermée dans la première. Concevons, en effet, que deux droites qui ont deux points communs ne coïncident pas au delà, et prenons sur l'une un point qui ne soit pas sur l'autre. On pourra amener ce point sur cette dernière par un déplacement de la première droite autour du point commun le plus éloigné, et l'on juge avec assez d'évidence que, dans ce déplacement, les points qui étaient d'abord communs ne le seront plus, et qu'il y aurait par conséquent deux lignes droites différentes entre le point resté fixe et celui qu'on a rendu commun aux deux proposées ; or cela serait contraire à la définition de la ligne droite.

Mais le sentiment qu'on a de la justesse de ces considérations ne nous paraît propre qu'à produire une confirmation, et non une véritable démonstration. Nous croyons convenable de renfermer dans l'idée de la ligne droite la propriété de coïncidence indéfinie de deux droites qui auraient deux points communs.

13. Lorsque deux droites se rencontrent en un point, elles donnent une nouvelle idée, qui est celle d^ijiclinaison mutuelle ou à^ angle. Nous croyons qu'il n'est pas à propos de définir cette idée, parce qu'elle ne saurait être ramenée à d'autres plus simples, ou seulement bien définies avant

elle; mais il faut bien savoir que, dans la recherche des rapports des grandeurs ou quantités quelconques, l'important n'est pas de fixer l'idée des choses au moyen d'une phrase, quand cette idée est si bien conçue, qu'elle ne peut donner lieu à aucune méprise. L'important est de définir clairement l'égalité et l'addition de ces choses, et cela est suffisant en même temps que nécessaire pour les comparaisons. Nous ne dirons donc pas ce que c'est qu'un angle, mais ce qu'on appelle angles égaux.

(( On dit que deux droites qui se rencontrent font le même angle que deux autres qui se rencontrent en un autre point, quand on peut, en transportant l'un de ces deux systèmes, sans y rien changer, faire coïncider les directions de ses deux lignes avec les directions de celles de l'autre. »

11 faut bien remarquer que cette égalité est indépendante de celle des lignes des deux: systèmes.

Du reste, c'est pour la commodité du langage qu'on introduit le mot angle, et l'on pourrait énoncer toutes les propositions où il entre, en le remplaçant par les conditions qu'il sert à exprimer. Cette remarque peut se faire, à la vérité, pour toutes les définitions, mais on aurait tort de se priver de l'avantage qu'elles donnent au langage lorsqu'elles ne sont pas défectueuses.

Nous définirons tout à l'heure l'addition des angles, et ce qu'on entend par angles plus petits ou plus grands.

Il est un cas remarquable d'égalité d'angles sur lequel nous croyons devoir dès à présent appeler l'attention : c'est celui où ces deux angles sont ceux qu'une droite qui en rencontre une autre forme avec les deux côtés de cette dernière. Nous regardons comme évidente la possibilité de cette position relative de deux lignes. On dit dans ce cas que la première est perpendiculaire sur la seconde, et qu'elle fait avec elle des angles droits.

iA. Les surfaces, dont la forme peut varier à Finfîni, offrent aussi un cas particulier très-remarquable, qui est en quelque sorte pour les surfaces ce que la droite est pour les lignes : c'est ce qu'on nomme le plan.

On le définit ordinairement : une surface telle, que si Von fait passer une droite par deux quelconques de ses points, cette droite indéfinie est entièrement comprise dans la surface.

Cette définition, outre qu'elle ne donne pas une idée bien nette de la forme de cette surface, a l'inconvénient d'exprimer un nombre indéfini de conditions peut-être incompatibles. Existe-t-il une surface sur laquelle une droite puisse s'appliquer indéfiniment, quels que soient les deux points qu'on ait choisis pour la déterminer? Cette infinité de conditions imposées à cette surface la rend-elle impossible? Son existence est-elle une vérité première, qu'on doive admettre comme évidente, comme un axiome?

Nous ne partageons pas à cet égard le sentiment commun, et nous pensons que l'admission de cette surface peut être ramenée à quelque chose de plus évident et de moins hypothétique que le simple énoncé de cette définition.

Concevons,'en effet, une ligne droite quelconque, et en un de ses points élevons une perpendiculaire. Supposons que cette seconde ligne prenne d'une manière continue toutes les positions possibles, en passant toujours par le même point et restant perpendiculaire à la première. Il est certainement plus facile de se représenter la surface lieu de toutes ces perpendiculaires, ou, par une image empruntée au mouvement, la surface engendrée par une droite perpendiculaire à la première et tournant autour d'elle en passant toujours par un même de ses points, que d'admettre a priori qu'il existe une surface telle, que la droite qui passe par deux quelconques de ses points y soit comprise tout entière. Or on peut facilement s'assurer que le

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lieu dont nous venons d'indiquer la génération jouira de cette propriété.

Remarquons d'abord l'identité de forme de la surface considérée de ses deux côtés. Si, en effet, on la retourne et qu'on fasse coïncider chacune des directions de la première droite transportée avec elle avec la direction opposée à partir du point fixe, elle coïncidera avec sa première position, puisqu'elles seront l'une et l'autre le lieu des perpendiculaires à une même droite par le même point.

Il est de plus évident que cette surface coïncidera toujours avec elle-même si on la déplace de manière que les perpendiculaires qui l'ont engendrée restent perpendiculaires à l'axe fixe.

Cela posé, considérons deux points quelconques sur cette surface ; faisons passer par ces points une ligne droite indéfinie, et suivons-la à partir d'un de ces deux points en marchant vers l'autre. Gomme, par sa définition, elle est semblable de tous les côtés, et que le plan n'offre lui-même aucune dissemblance entre ces deux faces, de quel côté de la surface peut-on concevoir que passe d'abord la droite? Et elle ne peut passer des deux côtés à la fois, parce qu'alors, quand on serait arrivé au second point donné, on aurait deux lignes droites passant par les deux mêmes points, ce qui est admis impossible.

Comment donc n'admettrait-on pas comme évident qu'entre ces deux points la droite est tout entière dans la surface? Et l'on admettra aussi qu'elle n'en peut sortir au delà; car, par les raisons déjà données, si elle passait d'un côté, on serait fondé à admettre qu'elle passe de l'autre, et l'on aurait encore deux droites diff'érentes qui auraient deux points communs, ce qui est contraire à la définition.

Toutes ces idées et ces propositions sont nettement indiquées, et leur admission ne semble pouvoir être l'objet d'aucune difficulté ; tandis que l'idée du plan tel qu'on le

l4 OBJET ET DONNÉES

définissait est très-confuse et renferme tant de conditions, qu'on ne voit nullement qu'elles soient compatibles.

Le lieu dont nous venons d'indiquer la génération, et dont l'existence est incontestable, jouit donc de la propriété que, si l'on joint deux quelconques de ses points par une droite indéfinie, cette droite aura tous ses points sur la surface.

Et de là résulte, comme conséquence nécessaire, que toute droite indéfinie qui passe par un point qui n'appartient pas à ce lieu ne peut avoir qu'un seul point commun avec lui ; car, si elle en avait deux, tous ses points devraient y être, ce qui serait contraire à l'hypothèse.

Cette remarque fait voir bien clairement que le lieu en question n'est nullement un corps solide ; car une droite menée par un point extérieur à un corps peut, en le pénétrant, avoir avec lui un nombre indéfini de points communs. Ce lieu ne peut donc être rangé que parmi les surfaces, comme cela paraissait d'ailleurs bien évident.

15. La propriété remarquable que nous venons de déduire de la génération de cette surface est-elle réciproque? c'est-à-dire toute surface telle, que, si l'on en joint deux points par une droite, cette droite soit tout entière dans cette surface, est-elle le lieu des perpendiculaires à une droite, menées par un de ces points?

Pour résoudre cette question, dont on sentira bientôt l'importance, concevons deux surfaces quelconques jouissant de la propriété supposée, et dans l'une d'elles prenons arbitrairement trois points non en ligne droite. Transportons cette surface de^ manière que l'un de ces trois points se trouve placé sur l'autre ; puis, sans déranger ce premier point, faisons tourner la surface transportée de manière qu'un des deux autres points arrive à se trouver dans celle qui est restée fixe; et enfin, laissant ces deux premiers

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points à la place qu'ils occupent, ce qui évidemment ne fixe pas la position de la surface que nous déplaçons, faisons encore mouvoir cette dernière de manière que le troisième point se trouve dans l'autre. Il est facile de démontrer qu'alors tous les points des deux surfaces coïncident.

On voit d'abord que les trois droites qui joignent ces trois points deux à deux sont dans les deux surfaces ; de sorte que, au lieu de prendre trois points dans l'une, on eût pu indifféremment prendre deux de ces droites, ou même toutes les trois.

Considérons maintenant un point quelconque sur l'une des surfaces indéfinies, et prouvons qu'il est aussi sur l'autre .

Pour cela, menons par ce point une droite indéfinie dans les deux sens, qui passe par un autre point quelconque de la même surface, pris dans l'intérieur du triangle déterminé par les trois droites. Cette nouvelle droite rencontrera nécessairement deux de ces dernières; car il est évident que, prolongée indéfiniment dans les deux directions à partir du point intérieur, elle sortira des deux côtés hors de la partie de la surface occupée par le triangle, et rencontrera son contour en deux points. Et ceux qui éprouveraient quelque difficulté à cet égard en éprouveraient bien davantage à l'admission de la définition ci-dessus mentionnée. Ces deux points de rencontre seront dans les deux surfaces, puisqu'elles renferment les deux droites rencontrées : la nouvelle droite sera donc aussi tout entière dans ces deux surfaces, et, par conséquent, le point par lequel nous l'avons menée y sera aussi. Tout point de l'une des surfaces étant sur l'autre, les deux surfaces coïncident.

Il est donc démontré que, si deux surfaces jouissent chacune de la propriété de renfermer tous les points de la droite menée par deux quelconques de leurs points, elles peuvent coïncider complètement en transportant l'une

l6 OBJET ET DONNÉES

d'elles de manière que trois points non en ligne droite, pris arbitrairement sur elle, viennent s'appliquer sur l'autre, n'importe dans quelle partie. Et, comme on peut prendre pour seconde surface la première que l'on déplacerait, il s'ensuit que celle-ci peut être retournée et glisser sur ellemême sans cesser de coïncider, pourvu que trois de ses points, non en ligne droite, restent toujours sur la première immobile. Cette surface est donc partout identique, et des deux côtés; elle est donc parmi toutes les surfaces ce que la droite est parmi les lignes.

La surface lieu des perpendiculaires en un même point d'une droite, jouissant de la propriété que toute droite qui joint deux de ses points y est tout entière, coïncidera donc avec elle-même de quelque manière qu'on la fasse glisser, pourvu que trois de ses points, non en ligne droite, restent toujours dans sa première situation. On peut donc la regarder comme le lieu des perpendiculaires en un même point d'une droite, menée par un quelconque de ses points.

Cette surface unique, identique à elle-même dans toutes ses parties et d'un côté quelconque, peut être définie par la génération que nous en avons donnée, ou encore, après les démonstrations précédentes, par la propriété réciproque que nous en avons déduite ; nous lui donnerons le nom de plan,

16. La notion du plan étant admise, nous pourrons définir l'addition des angles, dont nous avons défini l'égalité. Vour ajouter deux angles, nous plaçons sur un même plan les deux systèmes de lignes qui les forment, de manière que les points où leurs côtés se rencontrent, ou leurs sommets, coïncident; nous plaçons l'une sur l'autre deux des lignes qui les forment, de telle manière que les deux autres lignes soient de côtés difi'érents de la ligne commune ; cela fait, ces deux dernières lignes, quelle que soit leur position

relative, sont dites faire entre elles un angle égal à la somme des deux autres ; ou, en employant un langage qui sera dans la suite plus commode, nous dirons que l'angle des côtés extrêmes est égal à la somme des deux autres. On peut ajouter ainsi autant d'angles que l'on voudra, en tournant toujours dans le même sens. Le dernier côté pourra dépasser le prolongement du premier ; il pourra revenir dans la direction de ce premier côté, et même, par l'addition continuée de nouveaux angles dans le même sens, repasser un nombre quelconque de fois par cette première direction ; de sorte que l'on pourra avoir une somme d'angles, ou, comme nous l'avons dit, un angle indéfiniment croissant.

17. Si par le sommet d'un angle on mène, entre ses deux côtés et dans le plan qui les contient, tant de droites qu'on voudra, ces droites consécutives formeront des angles, dont l'angle proposé sera la somme et qui seront les parties de cet angle total.

18. Nous nous bornons pour l'instant à ces premières notions, et nous allons montrer comment les commencements de la Science peuvent être fondés sur elles. Ce ne sont pas les seules que nous serons obligés d'admettre par le simple sentiment de l'évidence ; mais il n'y aurait aucun avantage à en parler quand le besoin ne s'en fait pas sentir, et il vaut mieux attendre, pour les énoncer, que l'application qu'on aura à en faire leur donne un intérêt qu'elles n'auraient pas eu auparavant; et si, parmi ces vérités qu'on n'a pu ramener à d'autres plus simples et qu'on présente à l'acceptation immédiate de tous les hommes, il s'en trouve qui aient une apparence un peu hypothétique et qui ne frappent pas par un caractère assez éclatant d'évidence, il faudra, si l'on n'a pas assez de hardiesse d'esprit pour

D. — Se. de rais., 2* Part. 1

l8 OBJET ET DONNÉES DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES.

franchir le passage avec confiance, s'arrêter à ce point douteux, ou tout au moins n'aller au delà qu'en faisant ses réserves.

Les vérités fondées sur ces notions premières sont en nombre illimité, parce que chacune de celles que l'on découvre peut donner lieu à des combinaisons nouvelles, d'où résulteront de nouvelles conséquences, et ainsi de suite indéfiniment.

Les Sciences ont donc une étendue à laquelle l'homme ne peut affirmer qu'il y ait des bornes, et cependant il en connaît et possède les bases ; tout ce qu'elles renferment est virtuellement compris dans ce petit nombre de principes dont il a le sentiment clair et distinct; et ce sentiment commun à tous les hommes, sur des choses en dehors d'eux-mêmes, doit être regardé comme l'attestation de la réalité de ces choses, si l'on admet que le Créateur des hommes n'a pas voulu qu'ils fussent tous et toujours le jouet des mêmes illusions.