CHAPITRE XVI. l3l

premier cas à celles que donneraient les équations

a. T. — h y rrr c,

on partira des formules correspondant au simple changement de signe de bj et dans celles que l'on obtiendra on fera le changement de signe de a' suivant la loi démontrée. Il en résultera que les termes qui dans les premières formules renfermaient les deux coefficients b et a! auront changé deux fois de signe, et par conséquent reprendront celui qu'ils avaient ; ceux qui ne renfermaient qu'un seul des deux auront changé de signe, et ceux qui n'en renfermaient aucun seront restés tels qu'ils étaient, c'est-à-dire que l'on n'aurait qu'à faire la substitution de — ^ et — a! kb et a dans les premières formules des inconnues, en effectuant toujours les multiplications suivant les mêmes règles.

122. Conclusion. — Nous venons donc de découvrir un moyen de donner aux formules qui résolvent les équations du premier degré à deux inconnues le plus grand degré possible de généralité. Une seule formule pour chacune de ces inconnues s'appliquera non -seulement à toutes les valeurs numériques des coefficients, mais encore à toutes les combinaisons de signes des termes des équations.

Ce moyen consiste à choisir une certaine combinaison de signes pour servir de type, et à déterminer les formules qui s'y rapportent. Il est naturel de choisir celle qui est la plus simple et, par suite, la plus facile à retenir, celle où tous les termes ont le même signe. Pour appliquer cette formule à un cas particulier quelconque, où les termes auront des coefficients et des signes quelconques, il suffira d'y remplacer les lettres par ces coefficients afTectés des signes de ces termes, et de traiter ces

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quantités négatives d'après les règles démontrées dans les opérations sur les polynômes. Le résultat numérique sera précisément celui qu'on aurait trouvé en traitant directement ce cas particulier.

123. Observation. — Nous ne saurions trop rappeler que dans ce qui précède nous n'avons attaché aucun sens aux opérations sur les quantités négatives. Nous ne nous sommes servi des locutions empruntées aux opérations sur les polynômes que pour indiquer d'une manière rapide et commode le moyen de tirer de la formule type tous les cas particuliers possibles. Nous disons que si l'on a un terme ah' dans cette formule, et que dans un cas particulier le coefficient a soit 5 et le signe du terme — ; que de plus le coefficient // ait la valeur 4 et le terme le signe -h , il faut remplacer ab' par — 20, comme si l'on avait multiplié les termes — 5 et -f- 4 dans deux facteurs polynômes. Et, si b' était dans un autre cas — 4? ^^ ferait le produit de — 5 par — 4 d'après ces mêmes règles, et l'on remplacerait aZ>' par -i- 20.

Il faut bien se garder de prendre le langage dans un autre sens, et de voir, dans ce moyen commode de renfermer toutes les formules dans une seule, de véritables opérations effectuées sur des quantités négatives isolées ; opérations dont on a souvent démontré les règles, soit en les rattachant vicieusement à celles des polynômes, soit en cherchant à donner une existence à ces êtres fantastiques, et raisonnant comme si cette représentation arbitraire s'appliquait à tout.