CHAPITRE XVI

et comme (4) et [d) ne différaient que par le changement de signe de b, (5) et (e) ne différeront aussi qu'en ce que dans (5) il faudrait changer ^ en — ^ et exécuter les multiplications suivant les règles des signes dans le cas des polynômes, quoiqu'il n'y ait ici aucun sens à y attacher.

En faisant passer maintenant les termes connus des équations (5) et (e) dans le même membre, et réunissant les termes en jo dans l'autre, la même analogie se maintiendra, et aura encore lieu dans les formules de x tirées dans l'un et l'autre cas ; de sorte que, avant d'achever ce calcul, on est assuré qu'on passera de la formule de x qui convient au système (i), (2), à celle qui convient à (a), ((3), en changeant Z» en — b dans la première, et entendant que les multiplications se feront suivant les règles démontrées pour les quantités négatives non isolées. Et pour l'une et l'autre, les singularités qu'elles pourraient offrir dans des cas particuliers se traiteraient d'après la discussion complète que nous avons faite des équations à une seule inconnue.

Les valeurs ainsi trouvées seront

cb' — bc' cb' -~ bc'

ab — ba ab -h ba

Il reste maintenant à comparer les valeurs de r-

Or les expressions (3) et [y] ne différant que par le changement de signe de ^, si l'on y remplace x par les valeurs trouvées qui ne diffèrent qu'en cela l'une de l'autre, on trouvera des expressions qui ne différeront aussi que parla l'une de l'autre; ces expressions seront

ce' - bc' cb' -\- bc'

' ~ "" ab'-ba' *" "' "" ab'-^ba' y^ -^- et y^. ---^

Si maintenant, dans les numérateurs de ces deux formules, on réduit l'entier au même dénominateur que la fraction,

D. — Se. de rais., 2« Part. 9

l3o SCIENCE DES NOMBRES.

on passera toujours du premier au second, par le même changement; s'il y a des termes ou des facteurs qui se détruisent d'un côté, les correspondants se détruiront de l'autre; et l'on voit enfin que la valeur de y dans le second système ne différera aussi de celle du premier que par le changement de ^ en — b, sous la condition expresse que les multiplications ou divisions se feront suivant les règles qui n'ont de sens que dans le cas des polynômes.

121. Remarque. — Nous aurions bien pu arriver immédiatement à cette conclusion par la comparaison immédiate des formules (4), (5) et (8), (9) du Chapitre XV; mais on n'aurait pas reconnu pourquoi cela devait être nécessairement ; et cela n'aurait donné aucune indication relativement aux autres cas.

Au contraire, on voit clairement que si, au lieu de partir de la première combinaison de signes que nous avons choisie, on partait de toute autre, en y comprenant même ceux des seconds membres c, c', et qu'on obtînt les formules de X el y qui s'y rapportent; si l'on changeait dans les équations le signe d'un seul terme, les nouveaux calculs à faire ne différeraient successivement des autres que par le changement de signe du coefficient de ce terme, sous la condition expresse d'effectuer les opérations d'après les règles des signes démontrées dans le cas des polynômes, et qui n'ont ici d'autre objet que de donner une indication commode pour conduire aux signes que l'on a démontré que les termes devaient avoir.

Or l'effet produit dans les formules des inconnues par un seul changement de signe dans les termes des inconnues fait connaître de proche en proche l'effet qui serait produit par un nombre quelconque de changements successifs. -

Si, par exemple, on veut passer des formules de notre