CHAPITRE XVII. l

calculs ne différeraient des premiers que par les changements de signe des termes où il y aurait un nombre impair de coefficients des termes qui ont changé de signe ; et la conclusion générale s'énoncera ainsi, et sera applicable à tous les degrés :

« Si l'on a trouvé les conditions de divisibilité de deux polynômes généraux de degrés quelconques, en supposant tous leurs termes positifs, on aura celles qui se rapporteront aune combinaison quelconque de signes, en supposant négatifs les coefficients des termes qui ont changé de signes, et effectuant les opérations sur ces quantités négatives d'après les règles démontrées pour les polynômes. »

125. On voit donc encore que les quantités négatives sont introduites ici dans le but de renfermer tous les systèmes de conditions dans un seul ; que le moyen d'y parvenir consiste à regarder comme négatifs les coefficients des termes qui ont un signe contraire à celui qu'ils avaient dans les données du premier calcul ; mais que l'on n'attache aucun sens à une quantité négative isolée, et qu'il n'y a aucune règle à démontrer pour effectuer sur elle aucune opération réelle.

Dans ce cas encore nous avons choisi pour les données la combinaison de signes la plus simple, et par suite la plus facile à retenir ; mais on aurait pu partir de toute autre, et les équations de condition auxquelles on serait parvenu auraient donné celles relatives à toute autre combinaison, en y changeant le signe des coefficients des termes, non pas négatifs, mais de signes différents de ceux des termes correspondants dans les polynômes qu'on aurait choisis.

Pour en donner un exemple, nous prendrons une question dont l'application est très-fréquente :

Trouver les conditions pour quun polynôme de degré m soit divisible par un binôme du premier.

SCIERCE DES NOMBRES.

Nous donnerons le signe -|~ à tous les termes du polynôme, mais nous donnerons le signe — au second terme du binôme, et nous chercherons les conditions pour que la division de

Ax'« -;- Ai.r'"-i -^- . . . -i- A,„i X -;- A,„

par X — a réussisse exactement.

Or, en effectuant la division par le procédé élémentaire que nous supposons connu, et en la poussant jusqu'au reste indépendant de x, on reconnaît facilement que ce reste est

ka"' -f- Aia'"-i -;- . . . + x\„,i a 4- A,„,

c'est-à-dire que pour l'obtenir il suffit de changer x en a dans le polynôme proposé, dans lequel il est évident, par les raisons données ci-dessus, que les coefficients A, A,, . . . peuvent être supposés négatifs ; d'où l'on conclut qu'il est nécessaire et suffisant que cette substitution donne zéro pour résultat, pour que la division du polynôme par x — a réussisse. Les conditions demandées sont donc exprimées par l'équation unique

(i) Aa"' -r- Airt'"-i -T- . . . -;- A,„i a -.-- A„, -r. o.

Voyons maintenant quelle serait la condition pour que ce polynôme fût divisible par x -\- a.

Or, en faisant la division parx- -;- a, les opérations successives seront les mêmes ; mais, toutes les fois que dans le premier calcul on multipliera par le terme — «, on aura dans le second à multiplier par le terme -j- a; donc, quand il y aura un nombre pair de facteurs, les produits seront de même signe ; ils seront de signes contraires quand il y en aura un nombre impair, et cette dissemblance se conservera dans les résultats des soustractions opérées dans les deux calculs. D'où il suit que les deux restes ne différeront

CHAPITBE XVII. 187

que par le signe des termes affectés de puissances impaires de a.

On peut donc dire que l'équation (i) exprime la condition générale pour que le polynôme soit divisible par le binôme x — «, en entendant que a peut être implicitement négatif, pourvu qu'alors on le traite par les règles sur les quantités non isolées.