Corollaire I. — Si l'on savait qu'un polynôme

( 1 ) A^'« -f- Ai.r"'-^ -•- ... H- km-, oc H- A^

se réduit à zéro quand on y substitue successivement m nombres positifs ou négatifs a,b^ c, . . , , différents les uns des autres, on pourrait affirmer qu'il est le produit de la multiplication de son premier coefficient A par m facteurs binômes ayant pour premier terme x et pour second terme chacun des nombres positifs ou négatifs qui le rendent nul, changés respectivement de signes.

En effet, nous venons de voir que si le polynôme est rendu nul par la siiJDStitution àenh x, quel que soit le signe implicite de a, la division par x — a réussira, et il est clair que le premier terme du quotient sera Ax"'"*. Ce diviseur x — a serait x — 5 si <it est a, par exemple, et il serait x -h 5 si a était — ^). On peut donc dire que le polynôme n'est autre chose que le produit

a) [Kx'

ce produit doit donc devenir zéro quand on y substitue b di X.

Or le premier facteur devient h — a, et si le second no devenait pas nul par cette substitution, le produit ne le serait pas, ce qui serait contre l'hypothèse; donc le facteur A x'""* -I- ... est rendu nul par la substitution de b, positif ou négatif; donc il est le produit de x — b par un

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polynôme dont le premier terme est A^'"""^. On continuerait ainsi jusqu'à x — /, et le polynôme proposé n'est, par conséquent, autre chose que le produit

que l'on effectuerait suivant les règles ordinaires.

127. Remarque. — Il n'est pas possible que le polynôme (i) soit annulé par plus de m substitutions différentes, car il faudrait que le produit ( 2 ) devînt nul quand aucun des facteurs x ■ — a, . . . , x — Z ne le deviendrait; ce qui est impossible si le facteur invariable A ne l'est pas luimême. Si donc on avait démontré que (i) et par suite (2) deviennent réellement nuls par plus de m substitutions différentes, il en résulterait comme conséquence nécessaire que A serait nul, et par conséquent que (2) et par suite (i) seraient nuls, quelque valeur que l'on donnât kx.

Il résulte évidemment de là qu'il ne peut y avoir deux manières de décomposer un polynôme en facteurs du premier degré.

On remarquera de plus qu'en effectuant les multiplications indiquées dans l'expression (2), les coefficients des différentes puissances de x auront A comme facteur et deviendront tous nuls, si A est nul. Et comme ces coefficients sont précisément ceux de (i) qui est le produit même, tous ces coefficients A, Ai, Agj • - . , A,„ devront être nuls si le polynôme (i) est rendu nul, par la substitution de plus de m nombres différents, positifs ou négatifs.

Corollaire II. — Si deux polynômes de degré m donnent des résultais égaux, positifs ou négatifs, quand on y substitue plus de m nombres différents, positifs ou négatifs, tous les coefficients des mêmes puissances sont respectivement égaux, et le second polynôme n'est que la répé-