CHAPITRE XVII

tition du premier. Car, en les retranchant l'un de l'autre, on aura un polynôme de degré ni qui devra se réduire à zéro par la substitution de plus de Jii nombres positifs ou négatifs. Tous ces coefficients seront donc nuls, et par suite ceux des deux polynômes seront égaux.

128. Extension du dernier théorème au. cas de plusieurs variables. — Il est utile d'étendre le dernier théorème aux polynômes qui renferment plusieurs variables indépendantes. Nous nous bornerons au cas de deux variables ; la marche se trouvera assez indiquée pour un plus grand nombre. Voici l'énoncé du théorème que nous allons démontrer :

« Étant donnés deux polynômes entiers renfermant les variables x et j dans leurs différents termes, de manière que X n'entre pas à un degré plus élevé que m, ni j à un degré plus élevé que n ; si ces deux polynômes prennent des valeurs égales lorsque l'on substitue successivement à X plus de m valeurs différentes quelconques, et que, conjointement avec chacune d'elles, on substitue plus de n valeurs différentes de y, on peut affirmer que ces deux polynômes sont composés identiquement des mêmes termes en x et y. »

Soient les deux polynômes

Aj" -:- Al j«-^ ~'r- A2 j"-2 -h . . -- A„,

les coefficients A, A,, . . . , a, «;, . . . renfermant a: à un degré tout au plus égal à m.

Substituant à j: la première des m -f- 1 valeurs données, les deux polynômes seront rendus égaux par hypothèse, par la substitution successive de n -j- i valeurs différentes de j ; donc les coefficients des mêmes puissances de y seront égaux, et, par conséquent, la première des m -+• i

1^0 SGIIÎNCE DES NOMBRES.

valeurs données de x satisfait aux égalités

A " /^, Al-- ai, . . . , An ~- ^n-

Le même raisonnement prouvera que ces équations en x seront satisfaites par chacune des m -[- i valeurs différentes de X ; et comme chacun des polynômes A, Ai , . . . , a, ai, ... renferme x à un degré inférieur à jn -{- i, ils seront respectivement égaux terme pour terme. Les deux polynômes proposés seront donc composés identiquement des mêmes termes en x, y ; ce qu'il fallait démontrer.

129. Nous ferons remarquer un cas particulier renfermé dans ce qui vient d'être démontré et que nous rencontrerons plus tard : c'est celui où les deux polynômes en x et j auraient des valeurs égales, pour toutes les valeurs entières de X et y , supérieures à des limites désignées quelconques. Les raisonnements précédents démontrent que ces conditions entraînent l'identité des deux polynômes terme pour terme.

Corollaire III. — On conclut du corollaire premier qu'une équation de degré m ne peut admettre comme racines plus de ni nombres différents, positifs ou négatifs ; ou bien que toute valeur y satisfait.