CHAPITRE XIV

multipliant la pression par le coefficient / et sera, par conséquent, égale à • Leur résultante ne sera autre chose

que R, comme cela devait être évidemment, puisque la résultante K des forces données est détruite par la résistance du cylindre fixe.

161. Equilibre d'un corps sur un plan fixe. — Supposons un corps pesant posé sur un plan incliné à l'horizon, et sollicité par une force P comprise dans le plan vertical, passant par le centre de gravité du corps, et la normale au plan incliné. Réduisons tout le système à la section faite j)ar ce plan, et cherchons la condition d'équilibre en tenant compte du frottement.

Soient IV {Jig. 21) la verticale menée par le centre de

Fis. 21.

gravité du corps, PI la direction de la force P, Q le poids du corps, et a l'inclinaison du plan LA sur le plan horizontal AR; il faut exprimer que leur résultante est détruite par la résistance normale du plan AL et par le frottement. En désignant par 0 l'angle de la force P avec le plan incliné, la pression exercée sur ce dernier sera égale à

Q ces a — P sinO, 0 étant considéré comme positif au-dessus de la direction

•p.iS

AL et comme négatif au-dessous. Si l'équilibre est au moment de se rompre, la force de frottement sera égale à

J\(^ cosa — P sinO) ;

mais, en général, elle en sera une fraction quelconque /, . La composante totale dans le sens du plan sera

O siny — P cosO;

et, pour que l'équilibre ait lieu, il est nécessaire et suffisant que cette expression, positive ou négative, soit égale à la force de frottement; ce qui s'exprimera par l'équation suivante

Q sin-y. — PcosO — //(Qcosx — PsinO\

/. étant compris entre — i et -j- i et devenant — i ou -t- i dans le cas où l'équilibre est sur le point de se rompre, soit dans un sens, soit dans Taulre.

On lire de cetlc équation

p Q(sina — //cosa) oosO — /./sinO

Si A" ::^- o et 0 ~ - o, on retombe sur l'expression connue

P = Qsina.

162. Cherchons la direction dans laquelle il faut faire agir la force V pour obtenir le plus d'avantages possible, en supposant le corps prêt à glisser; et, pour cela, cherchons la valeur de 0, qui, en supposant A" = i , donne le minimum de P ou le maximum du dénominateur. Les ileux premières dérivées de ce dernier, jiar rapport à 0. ont jxuir t*\|)rcssions

- siiiO -/cosO* et

cosO -/sinO.

cn.vniTnE \iv. 219

En égalant la première à zéro, on Irome

tango =- -/;

d'où il suit que la force P doit être dirigée en dessous du |)lan et faire avec lui un angle égal à Tanglc du frottement. La seconde dérivée se réduit alors à

— cosO(i -•-/-);

elle est donc négative pour celte valeur de 0; d'où il suit que le dénominateur de P est maximum et, par suite, P minimum.

On pourrait encore chercher l'inclinaison 0, qui donne la plus petite valeur de P, propre à faire remonter le corps. Il faut alors supposer X" ^-^ — i et chercher le minimum de

; :— : — OU Ic maximum de cosO -r- /sinO. On en tire

cosO-t-ysHiO "^

— sinO -^ /"cosO -~- o, lanjrO ;=./';

ce qui montre que la force doit être dirigée au-dessus du jjlan incliné et faire avec lui un angle égal à l'angle du frottement, quelle que soit son inclinaison x.

Cet angle, qui est le plus favorable à la traction d'un corps pesant sur un plan quelconque, porte le nom (Sangle 'Ir iraclion ; et, comme nous venons de le prouver, il n'est autre que l'angle du frottement.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur la théorie du frottement. Nous n'avons voulu que donner ime idée de la manière dont les forces de cette espèce modifient les conditions de l'équilibre, ce qui est de la plus haute importance dans les applications. Nous renvoyons, pour de plus grands détails, aux Traités sj»éciaux sur les machines.