EXPRESSION DE LA FORCE DANS LN MOUVEMENT RECTILIGNE QUELCONQUE

188. Nous avons vu que deux forces constantes sont entre elles comme les quantités de mouvement qu'elles ont communiquées dans le même temps. D'où il est résulté (|u'une force constante peut être mesurée par la quantité de mouvement qu'elle produit dans l'unité de temps, en prenant pour unité de force celle qui, dans l'unité de temps, fait acquérir à l'unité de niasse une ^-itesse égale à l'unité. \ oyons comment on peut ramener à ce cas celui d'une force qui varie à chaque instant suivant une loi arbitraire. La question consiste à déterminer la vitesse qu'elle ferait acquérir à l'unité de masse pendant l'unité de temps, si elle conservait l'intensité qu'elle a à l'instant que l'on considère.

Supposons donc un mouvement rectiligne quelconque; soient r la vitesse du point mobile auquel nous supposerons une masse égale à l'unité, x sa distance à l'origine, t le temps compté à partir d'une époque quelconque; désignons par 5 la force variable qui sollicite le point à chaque instant, c est-à-dire son rapport à l'unité de force, qui est mesuré par la vitesse qu'elle ferait acquérir pendant l'unité de temps au mobile en question, dont la masse est égale à l'unité.

Si la force était constante, il suffirait de diviser la vitesse qu'elle communiquerait au point dans un temps quel-

25 i DU MOUVEMENT PRODUIT PAR LES FORCES.

conque, par ce temps, el l'on aurait la vitesse communiquée dans l'unité de tenq^s. Mais, dans le cas actuel, si la force est c à un certain instant, elle sera augmentée d'une certaine quantité Ao après le temps A/, et raccroissement Ar de la ^ilesse ne sera pas dû à la force s, mais pourrait être produit par une force comprise entre ç et o ~ As, et qui agirait avec une intensité constante pendant le même temps \t.

Cette force intermédiaire ç' sera égale à — > c'est-à-dire que

cette expression mesure la vitesse qu'elle communiquerait au point dans l'unité de temps.

Mais l'équation rigoureusement exacte o' -^ -— ayant lieu

quel f[ue soit l'intervalle de temps Ai, et ç' se rapprochant indéfiniment de ç à mesure que Aï tend vers zéro, puisque alors As tend aussi vers zéro, il en résulte, en prenant les limites des deux membres de l'équation.

Telle est la mesure exacte de la force appliquée à l'unité de masse, dans un mouvement rectiligne quelconque. Elle est de même signe que dv, de sorte qu'en employant cette formule, on regarde la force comme positive quand elle tend à augmeuter la vitesse, et coiimie m'-gatlve quand elle

tend à la diminuer; mais l'expression «le e<lle-ci est -^> el

est positive quand le mouvement a li<'u dans le sens des X positifs : donc la force sera positive cpiand elle agira dans

ce même sens, nuis((n'»'lle rendra -^ ou i- plus "-rand eu

valeur algébrique; elle sera négative dan-^ le sens contraire.

Si dans l'expression de ; un ifin|>laoe *• par--» on