CHAPITRE VII. a6ï

' COMPOSANTES DE LA FORCE ACCÉLÉRATRICE SUIVANT LA TANGENTE ET LA NORMALE.

194. Il est souvent utile de décomposer la force suivant la tangente et une normale à la trajectoire. Désignons par T et N ces deux composantes rapportées à l'unité de masse. La première s'obtiendra en projetant sur la tangente les trois composantes parallèles aux axes, ce qui donnera

d-jo dx d^Y dy d-z dz

dt- ds dt- ds dt- ds

Or, en difTérenliant l'équation

on trouve

d-x dx d-y dy d'z dz

d-s ds

dt- dt dt- dt dt^ dt ^

' dp dt

d'où

df-

Connaissant la résultante et une des deux composantes, on aura pour l'autre

.. fd'xy {d-y\- (d-zy (d-sY

On a trouvé dans la Géométrie que le rayon de courhure R d'une courbe quelconque a pour expression, quelle (pic soit la variable choisie comme indépendante,

ds^ R =

Sjd-'x^ — d'^y'' -t- d^z^ — d^s^ d'où résulte

-tfiG DU MOUVEMENT PRODUIT PAR LES FORCES.

Il ne reste plus qu'à reconnaître suivant laquelle des normales à la courbe cette composante est dirigée.

Or elle est dans le plan qui contient la composante tangentielle et la résultante; et les cosinus des angles que ces directions font avec les axes sont proportionnels respectivement à

(Lr, (/y, dz et d-x, d^y, d-:-.

Soit Kx -^ By -J- Ce = I l'équation d'un plan quelconque : pour qu'il soit parallèle à ces deux directions il faudra que l'on ail

Xdx -f- Br/y -^ Gdz r— o, A d-x -+- B d-y -r- C d-z z=^ o,

et, en exprimant qu'il passe au point donné, on aura le plan qui l'enferme les trois forces. Or ces équations sont précisément celles qui déterminent le plan osculateur d'une courbe quelconque. D'où il résulte que, dans le mouvement d'un point libre, la force est toujours située dans le plan osculateur de la trajectoire, ainsi que ses composantes, tangentielle et normale.

195. On peut arriver très simplenuMit, et sans calcul, aux résultats j)récédents.

En eHcl, la ligne A'//? (//.i'. ?-/>-, p. -.^Go) étant décrite pendant le temps infiniment prtit 0, [)ar raolion tic la bu'ce

accélératrice 5, la valeur de rello-ci sera égale à — -^ — 1

et, si l'on abaisse mV perpendiculaire sur la tangente, la force 0 et ses eom|)osantes seront entre elles comme les trois cotés du triangle A'/;?P; elles sont dirigées, l'une de P vers ///. r.Miln" de A' \ <ms P, et, |>ar consétpient,

, aA'P .. tP/w

ciuriTRE VII. 9-67

en pronani les limites de ces rapports. Or on a

R— — r— - cl Win ~- cO, 2 y m

Maintenant A'P est égal à MP — MA', cl MP ne diffère do lare M/?î que d'un infiniment petit du troisième ordre, qui peut être négligé devant A'P qui est du second. Or l'arc de la trajectoire étant considéré comme fonction du temps, on aura

dt \dt^

ds

el, comme MA'= -7- 0, il en résultera

dt

expression qui sera positive ou négative en même temps

que -TTj c'est-à-dire suivant que la vitesse -7- sera crois- • dt- 1 dt

santé ou décroissante. Mulliplianl ])ar p et passant à la

limite on trouvera

~ dt- ~ dt '

Quant à la direction de la force, elle est la limite de la direction de m A', et, par conséquent, est comprise dans le plan limite du plan MA'/;?, qui est, comme on le sait, le plan osculateur de la courbe au point M. La composante normale y est donc elle-même, puisque la résultante et la coni- |>osanle langentielle s'y trouvent. Elle est dirigée du point M vers le centre de courbure, comme étant la limite de la

268 1)1- MOUVEMENT PRODltT PAR LES FORCE?.

direction P/??, et c'est pour celaquon lui donne quelquefois le nom àc force centripète. On retombe ainsi sur les résultats déjà obtenus.

Si la masse du point, au lieu d'être l'unité, était égale

, j . mv^ d'S dv

a /«, les deux composantes seraient -g- et m -^ ou m -r ■

196. Force d'inertie. Ses composantes. — Nous avons vu que toutes les fois qu'une action s'exerçait sur un corps, celui-ci exerçait toujours en sens contraire une action égale, que Ton nomme réaction ou force d'inertie. Si l'action s'e\erce par la pression ou la traction d'un autre corps, ou d'un appareil matériel quelconque, c'est sur les points matériels en contact que s'exerce la réaction. Si elle provient d'un corps à distance, c'est toujours sur ce corps que la réaction s'opère ; et elle est encore égale et directement opposée à l'action qui a lieu sur le premier.

Cela posé, considérons un point libre, ayant une masse m et décrivant une trajectoire quelconque sous l'action d'une certaine force, que nous nous représenterons comme produite par la traction d'un fd ou par la pression d'un autre corps; la force d'inertie sera appliquée à ce fil ou ce corps extérieur^ au point même de l'espace oii se trouve le mobile, et pourra être décomposée soit en trois forces parallèles

aux axes, égales a — m —r^j — m -^^t — m —r-: : soil en ' ^ dt* dl- dt* '

deux forces, l'une tangentielle, l'autre normale à la trajectoire, et respcclivemcnl opposées aux composantes de la force appliquée au mobile : la pnMnièrc, estimée par rapport à la direction du mouvement, sera — ni -.^ » la seconde

aura pour valeur -tt— > sera siluee dans le plan osculateur

de la trajectoire, et dirigée du côté opposé au centre de courbure; de sorte (]ne si l'on concevait qu'elle agît sur un