CHAPITRE VII. afi

llplier la force, el, par suite, ses composantes par m. SI donc on désigne par X, Y, Z les composantes de la force appliquée au point dont la masse est /;?, et qu'on nomme la force motrice, les coordonnées x, y, z de ce point seront des fonctions du temps, telles ([ue Ton ail à cliacjuc iiislanl

dl- dt- ' dt-

Ce sont les équations différentielles du mouvement à un [)oint libre.

193. Usage des équations du inouKcment d'un point libre. — Ces équations donnent le moyen de ramener ay calcul toutes les questions qui peuvent se présenter sur le mouvement d'un point. Le cas le plus simple serait celui où l'on donnerait .r, y., z en fonction de /; ou, plus généralement, trois équations finies entre x, y, z., t. En les dilférentiant une fois par rapport à ^, on connaîtrait les com[)osantes de la vitesse du mobile. Une seconde difïérentiation ferait connaître les composantes de la force accélératrice, et, par conséquent, cette force elle-même en grandeur et en direction. Enfin l'élimination de ;, entre les trois équations données, ferait connaître les deux équations de la trajectoire.

Mais les données de la question sont, en général, moins simples. Elles devront toujours fournir trois conditions, puisqu'il y a quatre variables x., )', :;, /, dont une seule est indépendante : mais si l'on pouvait reconnaître à prio/i quv la trajectoire est plane, on prendrait deux axes de coordonnées dans ce plan, et il n'y aurait plus que trois variables, savoir : le temps t et les deuv coordonnées, quelles (ju'elics soient, du mobile.

Le cas le plus difficile est généralement celui où la forer est donnée. On connaît alors X, Y, Z en fonction de x,y,

264 Dr MOUVEMENT PRODUIT PAR LES FORCES.

-S, /, el les équations du mouvement sont de la forme

Si Ton peut intégrer le système de ces trois équations différentielles du second ordre, on parviendra à trois équations entre x, j\ z-, t et six constantes arbitraires.

Ces constantes se détermineront d'après les circonstances initiales du mouvement.

On observera, pour cela, que le mouvement du point n'est pas déterminé par la seule connaissance de la force qui agit sur lui. Il faut encore connaître la position où il ^e trouve à un certain instani, celui par exemple à partir duquel on commence à compter le temps; et, de plus, la grandeur et la direction de sa vitesse à cet instant. C'est en cela que consiste ce qu'on appelle Vétat initial du point : et l'on voit qu'il renferme six données nécessaires et suffisantes, les trois coordonnées du point cl les trois composantes de sa vitesse.

Or il est facile, au movcn de ces données, de déterminer les six constantes introduites par l'intégration. En effet, les équations intégrales, ainsi que toutes celles qu'on en déduirait par la différentiation, ayant lieu pour toute valeur de /, seront satisfaites si Ion y fait / ^~ o. Pour cette valeur de /,

1 I . I 1 1 dx dv

on connaît, par hvnollM-se, les valeurs de J". r, :. —j-y -^» ' * • ' "^ at ctt

-T^« En les subsliluant dans les équations intégrales cl leurs

dérivées premières, dans lesquelles on aura lait / =z o, on aura six équations qui ne renfermeront d'inconnues que les six constantes, lesquelles, par eonsé(]uenl. seront déterminées.

Avant aln>i trois équations entre ./*, >*, z, t, on rentre dans le j>remicr cas (juo ftous avons examiné.