APPLICATION DES ÉQUATIONS GÉNÉRALES A QUELQUES CAS PARTICULIERS

Nous allons employer ici le moyen de découverte que nous avons indiqué dans la première Partie de cet Ouvrasse. Nous partirons de certaines conditions déterrainées, et nous chercherons à en tirer des conséquences sans avoir aucun but spécial. Si nous arrivons ainsi à quelque proposition importante, nous l'inscrirons à sa place dans la science.

197. Mouvement produit par une force constamment normale à la trajectoire. — La condition connue pour que deux droites soient perpendiculaires, donne immédiatement, dans le cas actuel, l'équation

dx- d-.r dy d\v de d^z

Tît ~dF "*" ~di ~dt^ TTt 'dF ~ ^'

Or le double du |)i-(Miiicr membre est la déri\ée dr

ou de i'-, v désignant Ioujour-< lii mIi-soc; il .n n'-sullc donc

que la vitesse est constante.

On peut donc énoncer cette proposition générale : Lorsque la force qui sollicite un point matériel c»/ lou-

jours normale à sa trajectoire, le mouvement de ce point

est uniforme, ri rrriproquement.

Ou se Irons»' (l.iiis I«'n cou(lilitm>; de celle question, quand

CH.VPITRK Vlir. 271

on considère un poinl assujetti à se mouvoir sur une courbe ou une surface fixe qui ne produit aucun frottement, et qu'on suppose qu'il n'y ait aucune force autre que la résistance de la courbe et de la surface : le mobile est alors sollicité par une force constamment normale à sa trajectoire, et son mouvement sera par conséquent uniforme.

Remarque. — On aurait pu parvenir à cette conséquence au moven des formules qui expriment la composante tangentielle et la composante normale de la force appliquée au mobile.

En efl'et, si la résultante est toujours normale, la com-

• 11 ff''* • 11

posante tangentieile -y-j est toujours nulle; et par conse-

Hs , . ,

quent-pj ou la vitesse, a une valeur constante et recipro-

quement.

1118. Du nioui'C/nc/it ptoduit par une force qui passe par un point fixe. — Lorsqu'un point matériel est sollicité par une force dont la direction passe par un point fixe, que l'on prendra, pour plus de simplicité, comme origine des coordonnées, les cosinus des angles formés par la direction de cette force avec les axes, doivent être proportionnels aux coordonnées jt, i', z du point; et, comme

., . , rf^x (f^v rf-z

ils sont proportionnels aux composantes -7-7 ' TTT' ~7~'

de la force accélératrice, on aura

d'où l on tire

'dF __ TfF 'cïF

^ ~dF~ ~~dF "''■ ''dF~~'^'cn^~^' '^'dF~^ ~dr- ''*^'

et, en intégrant par rapport à t,

^ ^ dz dv „ dx dz „, dy dx ^„

^'^ ■'■dr'-d7=''^^ '7û-''dt'=^^ ■'dï~^''-dï=^'

C, G', G" étant des constantes arbitraires.

Si l'on multiplie la première de ces équations par .r, la seconde par j', la troisième par :;, et qu'on les ajoute, on trouvera Téquation suivante, entre les coordonnées du point à un instant quelconque :

Le point ne sort donc pas d'un plan passant par l'origine, comme on pouvait le reconnaître à priori, en observant qu'aucune cause ne tend à faire sortir le point du plan mené par le centre d'action et la direction de la vitesse initiale.

Pour interpréter les équations (2), soient r la projection du rayon vecteur mené de l'origine au point mobile, sur le plan XY, et 0 l'angle qu'elle forme avec l'axe des x. Nous supposerons que les angles croissent de l'axe des x positifs vers l'axe des y positifs, de sorte qu'en se plaçant dans l'axe des z positifs, on voit s'exécuter de gauche à droite le mouvement du rayon qui décrirait les angles croissants. Nous regarderons les aires décrites par un rayon vecteur, comme croissant dans ce même sens; et il en sera de même pour chacun des autres axes, relativement aux deux autres plans.

Gela posé, op aura l'équation générale

tangO - -

(Ml

(■os*0

dv dx "" dt y dt

et, par conséquent,

y-di

d\' -' dt'

CHAPITRK VIII. 9,73

en désignant par X" l'aire décrite par la projection /• du rayon vecteur du mobile.

Si Ton désigne de même par >/ et X les aires décrites par les projections de ce rayon vecteur sur les plans ZX et Z\. les équations (2) donneront

r/X C f{À; C ' dy C" 'TTt ~' 2' «y^ ~ T ' dt ~ 1

d'où

en supposant que les aires comiuenceut avec le temps t.

Ces équations montrent que les aires décrites, à partir de cet instant, par les projections du rayon vecteur du mobile, croissent proportionnellement au temps. Et, comme le mouvement du point s'effectue dans un plan, il s'ensuit <]ue les aires décrites par le ravon vecteur du mobile dans ce plan sont aussi proportionnelles au temps, La valeur de ces aires peut sexprimer facilement, en observant que toute aire plane est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses projections sur trois plans rectangulaires. On aura donc, pour l'expression de ces aires,

Réciproquement, si les aires décrites par les projections du ravon vecteur sont proportionnelles au temps, la direction de la force qui sollicite le mobile passe constamment par l'origine; car alors les équations (3) auront lieu et, par suite, les équations (2), qui, différentiées, donneront les équations (i); or ces équations expriment que les cosinus des angles que fait avec les axes la direction de la force et ceux qui se rapportent à la droite menée de l'origine au point i^x^y^ ^) sont proportionnels, et que, par conséquent, ces deux droites se confondent.

DuH — Meth. IV. 18

C'est dans ces deux propositions réciproques que consiste \e principe des aires pour un point matériel.

Si le point était sollicité par des forces dirigées vers deux centres fixes, les équations (i) ne seraient plus satisfaites; mais la première aurait encore lieu en prenant pour ave des ;: la droite qui passe par les deux centres. En effet la résultante des forces auxquelles le point est soumis, coupant constamment l'axe des z, ses composantes parallèles aux axes des x et des y sont proportionnelles à ces deux coordonnées; d'où résulte l'équation

d-v d^-x dt- - dt- '

et, |)ar conséquent, le principe des aires a lieu, dans ce cas, pour tout plan perpendiculaire à la droite qui passe par les deux centres, le centre des aires étant pris sur cette droite.

Il est évident qu'il en serait de mcmc si, au lieu de deux centres, on en avait un nombre quelconque situé sur une même droite.

Observation. — Cet important principe des aires a été découvert par Ne^vton et exposé dans le livre des Principes. Sa démonstration n'est pas fondée sur les équations générales du mouvement, qui n'étaient pas connues, et ce n'est pas en les combinant au hasard, comme nous l'avons fait, qu'il y est parvenu. Son génie lui a fait apercevoir que, la force qui lirait le point dans la direction du rayon vecteur ne pouvant déranger son mouvement que parallèlement à ce ravon, le triangU' décrit par le rayon vecteur (jrviit avoir la niénic aire que si celte force n'agissait pas, cl 11' prinrinc r^i loul ciilier dans cctlf première vue.

199. E.rpression r<niiinju<ddc de la force diriger vers un centre Jixc, au nioyr/i des clénic/tts de la irajrcloire.

CH.VPITRIî VIII. 27»

— Celte foi'imilc infinitésimale est une des plus imjxirtanles découvertes de Newton. Poury parvenir, soient, à une époque quelconque, M {Jig- i^) la position du mobile sollicité vers le point fixe O, et N sa position après le temps infiniment petit 6; NI parallèle à MO et terminée à la tangente à la

Fis:. 23.

trajectoire en M; enfin NP perpendiculaire à OM. Désignant la force par o, on aura

et c 0 =- 2 OiNM = OM . NP /• N P ;

et, par suite.

mr'- NP

Nf Np'

Telle est la formule infinitésimale donnée par Newton dans son livre des Principes, en observant toutefois qu'il n'a pas cherché à déterminer la valeur de la constante qui est représentée ici par ac^. Il transforme cette expression de différentes manières.

Ainsi, en abaissant de N la perpendiculaire NK. sur la normale et désignant par o) l'angle de cette dernière avec

MO, on aura

NIcosoj = MK — — î— ,

R étant le ravon de courbure de la trajectoire. De là résulte, en désignant par p la perpendiculaire OQ abaissée de O sur la tangente.

/■^ t» ^ afd"^ /-Rcos'co />-Hcosto R/>' rv CCS (0 1\ r '^ ^

200. Ces formules de iNewlon conduisent à une expression difîérentielle très simple de la force centrale ç. Prenons, en oflcl. la iormule

cl substituons-y à p et R leurs expressions difrérentielle? eu coordonnées polaires y, 0, «pii sont

« r= /• COS 10 ^= /- ^- ,

^ as

ds^ ,1s '

7f¥ HH*

^ous obtiendrons anisi

/•» \ /• (Ki

fdrnude inipoilanl»- di>nt nous Icrons usage par la suilc, et (ju'on déduit ordinaircnuMil ties écpialions générales du niouvcmcnl.