COMPOSITION ET ÉQUILIBRE DE FORCES APPLIQUÉES A UN MÊME POINT

29. La recherche de la résultante, ou la composition de forces en nombre quelconque appliquées à un même point, se ramène à la composition de deux seulement ; car, si l'on cherche d'abord la résultante dedeux quelconques desforces, cette résultante, qui peut les remplacer, étant composée avec une troisième, donnera une résultante qui pourra remplacer ces trois forces ; en la composant avec une quatrième, on aura une force qui pourra remplacer ces quatre, et, en continuant ainsi jusqu'à la dernière, on obtiendra une force qui pourra les remplacer toutes, et pourrait, réciproquement, être remplacée par elles dans tout système rigide ou non rigide. Cherchons donc d'abord la résultante de deux forces appliquées à un point libre.

30. Composition de deux forces. — Parallélogrammi' des forces.

La résultante étant appliquée au jioint auquel ces forces le sont elles-mêmes, il ne s'agit plus que de trouver sa direction et son intensité.

On commence ordinairement par s'occuper de la direction, et on distingue deux cas, celui où les deux forces ont une commune mesure, et celui où elles n'en ont pas. Dans le j)rcmier cas, la considération répétée de deux forces égales appliquées à un même point, et qui peuvent être transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quoi conque de la bissectrice, conduit à celte conséquente ([ur :

cnAPirnE n. 3i

La résultante de deux forces commensurables appliquées à un même point peut, sans changer d^ effet, être transportée parallèlement à elle-même à l extrémité de la diagonale du parallélogramme construitsur lesdroites qui représentent les forces en grandeur et en direction.

On conclut de là que cette extrémité de la diagonale est sur la direction de la résultante, qui n'est donc autre que celle de cette diagonale même. Si les forces sont incommensurables, on arrive à la même conclusion, soit par la considération des limites, soit par la réduction à l'absurde.

Corollaire. — Celte proposition générale permet réciproquement de trouver le rapport de deux forces appliquées à un même point lorsqu'on connaît leurs directions et celle de la résultante.

31. Pour en déterminer l'intensité, on remarque qui! \ aurait équilibre entre les deux forces données et une troisième égale et opposée à la résultante. Cette troisième et l'une des deux premières auraient donc pour résultante une force de direction opposée à la seconde; et comme, par conséquent, on connaît le rapport de cette troisième à la première qui est donnée, on connaîtra donc cette troisième, qui est égale à la résultante cherchée.

Les constructions simples qui représentent ce qui \ient d'être énoncé montrent que l'intensité de la résultante est représentée par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux forces. D'où résulte ce théorème fondamental :

La résultante de deux forces quelconques appliquées à un même point., est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les lignes qui représentent ces forces en grandeur et en direction.

La réciproque, ou la décomposition d'une force en deux autres passant au même point, est é^^dente.

3c. DE t/KQlILIBRE DES FORCES.

32. Remorque. — Cette diagonale partage le ])arallélogramme en deux triangles dont les côtés représentent les deux forces et leur résultante, et dont les angles sont ceux que font entre elles les directions de ces trois forces. D'où résulte que les divers problèmes que l'on peut se proposer sur les grandeurs et les directions de deux forces et de leur résultante, se ramènent immédiatement à la construction ou au calcul d'un triangle.

33. Parallélépipède des forces. — Lorsque trois forces non dans un même plan sont appliquées à un même point, on trouve, en les composant successivement, que la résultante est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélépipède construit sur les trois forces. Cette diagonale ne peut se réduire à zéro que lorsque les trois composantes sont séparément nulles. C'est donc le seul cas où les trois forces non dans un même plan ne déplaceront pas le point libre auquel elles sont appliquées.

On voit que les divers problèmes auxquels peut donner lieu la considération de trois forces appliquées à un point et de leur résultante, sont ramenés à la construction ou au calcul d'un parallélépipède. Le plus simple de ces problèmes, après le précédent, est celui qui a pour objet de décomposer une force en trois autres appliquées au même point, dans des directions données. Il revient à trouver les trois arêtes d'un parallélépipède, connaissant la grandeur et la direction de la diagonale, ainsi que les directions des arêtes.

34. Forces en nombre quelconque. — La composition successive de ces forces, que nous avons indiquée en commençant, conduit au résultat suivant, d'après la règle du parallélogramme des forces :

« Par l'extrémité de la droite qui représente l'une quol- » conque des composantes, menez une droite parallèle à