PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION

291. Nous déduirons encore de la formule générale tirée du principe de d'Alembert une proposition qui a eu une grande célébrité, surtout par le vague un peu mystérieux dont son auteur l'avait entourée. Cette proposition n'a lieu que dans les systèmes pour lesquels l'équation des forces vives subsiste. Il consiste en ce que si, pour chaque point du système, on intègre entre deux époques arbitraires le produit de sa quantité de mouvement par l'élément de la courbe qu'il décrit, la somme de toutes ces intégrales est un minimum; c'est-à-dire qu'elle est moindre que si, par de nouvelles liaisons, on assujettissait ces points à suivre de nouvelles courbes, entre les deux mêmes positions extrêmes que l'on considère, et sous l'influence des mêmes forces.

Pour le démontrer, il faut faire voir que la variation do cette somme est nulle quand on fait varier infiniment peu les points de ces courbes en leur laissant les mêmes extrémités; car il est évident, par la nature de cette somme, qu'en général elle ne peut avoir une valeur maximum, et que, par conséquent, en exceptant des cas très particuliers, rWc aura uur valeur minimum.

Or on a

0 / ^ un- (Is I \ /// o( ir/v) / > m (iv .ffs -^ l'ids). l'oiir calculer la première partie, remplaçons '/.v par \f/f.