CHAPITRE \XVI. :\/f'i

cfiilres, que rc»n [jcul regarder comme les poinls dapplicalion des forces qui agissent sur lous les poinls d'un quelconque de ces corps ; le mouvement de rotation de chacun d'eux rentrerait donc dans la question examinée précédemment.

Rien n'est plus facile que de former les trois écjuations du mouvement de chacun des points libres qui s'attirent ou se repoussent mutuellement, proportionnellement à leurs masses et à une fonction donnée ç(/) de leur distance /•. En effet, si l'on désigne par (x,^v', ;), (x',y, z'), (x",y', z"), ... les coordonnées de ces différents points, par m, /«', m", . . . leurs masses, les composantes de la force totale qui s'exerce sur le premier sera, en désignant par /■', /■', . . . ses distances aux autres et supposant toutes les actions attractives.

mm' •'' , '' 5(r')-^mm":^——^o( /•")--.. mm — s ( /■ j -T- mm ■ ^f— ç> ( /' ) -r- . .

mm' - — -j-^ '■?(/■') -^ mm" - — j-^ 9('''' ' -•

Si l'une des actions était répulsive, il faudrait changer do signes les termes qui renferment la distance correspondante.

Lgalant respectivement ces trois expressions a rn —j-^ ,

m — rr' '^' -rr ' O" aura les trois équations du mouvement

du premier point.

En agissant de même pour tous les autres, on aura autant d'équations que de coordonnées, et comme les variables /•', r", . . . s'expriment au moyen des coordonnées, il ne reste qu'une seule variable indépendante, qui est le temps,

446 nu MOUVEMENT PRODUIT PAR LES FORCES.

et le problème du mouvement de tous les points est ramené au problème de l'intégration d'un système d'équations difierentielles.

325. Mais ces équations, n'étant pas linéaires, ne peuvent (j-énéralement être intégrées, sous forme finie, même en acceptant les quadratures comme des opérations toujours praticables. Les principes généraux en donneront bien quelques intégrales; mais elles sont insuffisantes, même dans le cas où le système ne se compose que de trois points.

Ainsi, le principe du mouvement du centre de gravité apprend que ce point se mouvra uniformément, en ligne droite, puisque toutes les forces, étant deux à deux égales et opposées, se détruisent quand on les transporte en un même point; et, comme l'état initial de tous les points fait connaître la direction et la grandeur de la vitesse du centre de gravité, son mouvement est complètement déterminé. Ses coordonnées sont donc des fonctions linéaires connues du temps; or elles peuvent s'exprimer en fonctions linéaires de celles des points donnés; il résultera donc de là trois équations linéaires entre les coordonnées de tous les points et le temps.

Le principe des aires en donne trois autres entre ces coordonnées et leurs premières dérivées.

Enfin le principe des forces vives qui a lieu, puisque les actions mutuelles ne sont fonctions que de la distance, donnera une nouvelle équation entre ces mêmes quantités.

On aura donc ainsi sept équations, dont quatre encore renferment des dilférentielles d<' premier ordre.

Mais le nombre des coordonnées est plus grand «lue sept dès qu'il y a plus de deux points, et l'intégration devient impossible d'une manière générale.

Onand il n'v a (pie deux points, c'est le proliièinc du