Après avoir établi ;inoc soin ces j)r<inuTs |irmcipes

nous avons commencé rétudc de l'équilibre par quelques cas simples ; mais nous nous sommes bientôt élevé à la formule générale qui renferme virtuellement les conditions d'équilibre de tous les systèmes, et d'où l'on peut les tirer dans chaque cas particulier, par des procédés de calcul réguliers. Cette formule est l'expression d'un principe, entrevu par les géomètres qui ont précédé Lagrange, mais dont il a le premier compris toute l'importance. Il l'a admis d'abord, il est vrai, sans démonstration générale, et un grand nombre des conséquences qu'il en a tirées pouvant être démonti'ées directement en étaient une confirmation frappante ; mais la rigueur scientifique exigeait une démonstration préalable de ce célèbre principe des vitesses virtuelles; et elle a été donnée d'abord par Fourier, puis par Lagrange lui-même, par Poinsot et quelques autres encore.

On peut donc regarder maintenant la science de l'équilibre comme rigoureusement établie, d'après les données premières que nous avons admises comme résultats de l'observation; elle est donc ainsi ce que nous avons nommé une science de raisonnement.

Il faut remarquer toutefois que nous ne nous sommes occupé que des systèmes de points, ou de corps solides, en nombre fini, liés entre eux, ou à des points fixés d'une manière quelconque. Nous n'avons pas considéré les svslèmes composés d'une infinité de points, tous mobiles les uns par rapport aux autres, et formant ce qu'on appelle des liquides ou des gaz : nous en parlerons plus tard.

6. Après avoir constitué la science de l'équilibre des forces, nous sommes passé à l'étude des mouvements qu'elles peuvent produire.

Et d'abord, il faut bien remarquer que le mouvement, tel que nous l'avons défini, est toujours relatif. Le mouve-

ment absolu, généralement admis jusqu'ici, est une pure chimère fondée sur une autre chimère, celle d'un espace éternel et absolu, dont chaque point aurait une existence personnelle, et serait supposé dans un état d'immobilité. Et comme il est tout aussi impossible de dire ce qu'on entend par l'immobilité d'un point de cet espace, que par celle d'un point matériel quelconque, ce n'est que par un cercle vicieux que Ton arrive à croire que l'on a donné une définition du repos et du mouvement.

D'après cela, nous n'avons dû nous occuper que des mouvements relatifs des points, et tous les principes généraux que nous avons établis comme bases de la science du mouvement, sont entendus d'après cette conception.

7. La considération du mouvement en entraîne une autre, celle du temps. Nous avons encore eu à combattre à ce sujet une conception aussi chimérique que celle de l'espace, celle qui fait du temps un être réel, nécessaire, indépendant de toute création, comme l'espace, et sur lequel viennent s'échelonner les époques, comme les points sur une ligne indéfinie. Nous avons admis évidemment l'idée de succession comme résultat de notre expérience, mais nous n'avons pas dit qu'il existait un être dans lequel s'opérait cette succession. Néanmoins, pour la commodité du langage, nous avons parlé de temps égaux, ou dans un rapport quelconque, et par conséquent exprimables par des nombres, en définissant rigoureusement ce que nous en- Icndions par là.

8. Il est encore iiric auln* nolion nécessaire à introduire dans la science du mouvement, et qui no se trouve pas dans celle de ré(julllbre : c'est la nolion de la masse. L'expérience montre que la même force ne produit pas le même mouvement quand elle est applicpiéo à des corps

RÉSUMÉ. .j53

Ibrmés de la même substance, ayant des volumes différents, et par conséquent renfermant des quantités différentes de matière. Mais, comme on ne peut attacher aucun sens précis à la comparaison des quantités de matière renfermées dans des corps d'espèces différentes, et que notre objet n'est pas de tenir coniple de la composition particulière dos corps, mais seulement de la manière dont ils sont mis en mouvement par les forces , nous avons considéré comme identiques, sous ce rapport, deux corps qui, soumis à l'action d'une même force, prennent le même mouvement. On dit alors, non qu'ils renferment la même quantité de matière, mais qu'ils ont la même masse.

Lorsque deux corps proviennent de la réunion de corps ayant des masses égales, on dit que leurs masses sont dans le rapport des nombres respectifs de ces corps partiels. De là résulte l'expression de toutes les masses en nombres, en prenant pour terme de comparaison celle d'un volume déterminé d'une substance choisie arbitrairement.

Deux corps sollicités par des forces proportionnelles à leurs masses prennent un même mouvement, parce qu'en les décomposant en parties égales à leur commune mesure, toutes ces masses égales sont sollicitées par des forces égales. Et réciproquement, si le mouvement est le même, les forces sont dans le rapport des masses. De là résulte un moyen simple de comparer les masses. En effet, l'expérience a montré que tous les corps soumis à l'action seule de la pesanteur prennent des mouvements identiques; leurs masses sont donc proportionnelles aux forces qui les sollicitent, c'est-à-dire à leurs poids; et comme la comparaison des poids est très facile, celle des masses le sera également, ainsi que leur expression en nombres.

9. Ces premières notions étant acquises, nous avons indiqué comment on a pu établir expérimentalement les

principes fondamentaux du mouvement produit par les forces.

Le premier consiste en ce que, dans un système dont tous les points ont des vitesses constantes égales et parallèles, si un de ces points vient à être sollicité par une certaine force, son mouvement, par rapport au système, sera le même que si le mouvement commun n'avait pas existé.

Une des premières conséquences de ce principe général est qu'une force constante, agissant d'une manière continue sur un point matériel partant du repos, lui donne un mouvement uniformément accéléré; et réciproquement.

10. Le second principe général consiste en ce que deux forces constantes, appliquées à des masses égales pendant un même temps, leur font acquérir des vitesses proportionnelles à ces forces.

De là résulte le rapport des vitesses acquises dans des intervalles quelconques de temps par des corps dont les masses sont dans un rapport quelconque, et sont sollicitées par des forces quelconques.

On déduit de là la mesure des forces constantes au moyen des vitesses qu'elles font acquérir à des masses connues.

La mesure des forces constantes conduit à celle des forces variables au moyen des considérations infinitésimales. Il suffit, en eflet, de remarquer que, si l'on considère la vitesse produite par une force variable dans un temps infiniment petit, elle ne diffère que d'une quantité infiniment petite, par rapport à elle-même, de celle qui aurait lieu si cette force conservait pendant ce temps sa première valeur; d'où il suit que le rapport de celle-ci à une force constante cboisie arbitrairement vl appli(|ué<> à l.i même masse est la limite du rapport de la Mtosse produite

RÉSUMÉ. î57

par la première dans un temps infiniment petit à celle que produirait la force constante. On tire de là cette conséquence, qu'une force variable quelconque, agissant dans le sens du mouvement rectiligne d'un point, est mesurée par le produit de la masse de ce point par la dérivée de sa vitesse par rapport au temps, en entendant qu'on a pris pour unité la force constante qui, dans l'unité de temps, fait acquérir à l'unité de niasse une vitesse égale à l'unité.

11. Après avoir fait quelques applications de cette formule, nous sommes passé à l'étude du mouvement curviligne d'un point.

Galilée, le premier, a résolu la question du mouvement d'un point libre sollicité par une force constante en grandeur et en direction.

Huyghens a donné sans démonstration des propositions importantes sur le mouvement d'un point assujetti à rester sur un cercle donné.

Enfin, Newton, en vue surtout des mouvements planétaires, s'est occupé du mouvement produit par une force dont la direction passe par un point fixe. Il en a démontré d'abord une importante propriété, connue sous le nom de principe des aires, et est parvenu ensuite à l'expression de la force au moyen de certains éléments infinitésimaux dépendant de la courbe que décrit le point. Cette grande découverte l'a conduit, comme nous le montrons plus tard, à celle de la gravitation universelle.

Mais il restait encore à donner l'expression générale de la force quand elle n'est assujettie à aucune restriction, et nous avons montré comment on y parvient en faisant usage du premier principe énoncé précédemment et de la théorie du mouvement rectiligne varié. On trouve ainsi que les composantes de la force accélératrice sont les dérivées secondes, par rapport au temps, des coordonnées respec-

i58 DU MOUVEMENT PRODUIT PAR LES FORCES.

tives du point considérées comme des fonctions du temps. Tous les problèmes sur le mouvement d'un point libre deviennent par là de simples questions de calcul différentiel ou intégral.

Nous avons examiné le cas où le point n'est pas entièrement libre, et est assujetti à rester sur une courbe ou une surface donnée. Nous avons montré comment ce cas se ramène au premier, en introduisant la force inconnue qui peut représenter l'action de la surface ou de la courbe. Le point peut alors être considéré comme libre, et les équations relatives à ce cas, jointes à celles de la courbe ou de la surface, déterminent le mouvement du point et les inconnues introduites.

12. Après avoir ainsi traité le cas du mouvement absolu d'un point, nous sommes passé à l'élude du mouvement relatifs ces deux expressions étant entendues comme nous l'avons suftisamment expliqué en parlant du mouvement en général.

Le problème que nous nous sommes proposé est celui-ci :

Etant donné le mouvement d'un système rigide, trouver, par rapport à ce système , le mouvement d'un point sollicité par une force donnée.

Pour plus de simplicité, nous concevons trois axes liés invariablement au système; la position du point par rapport à ces axes détermine sa position relative au système, dont on pont alors faire abstraction, en ne conservant qiu* ces axes, dont le mouvement sera regardé comme donné. Nous supposerons donc que les trois coordonnées de leur origine et les angles que leur direction font avec les axes fixes sont des fonctions connues du temps. Les trois équations qui ont lieu entre les coordonnées d'un point, par rapport aux axes fixes ci aux a\«;s mobiles, permet d'exprimer les unes, ainsi (pi(> leurs dérivées, au nioven des

autres, de leurs dérivées et du temps. Et comme les composantes de la force appliquée au point mobile sont données, les dérivées secondes de ses coordonnées, par rapport aux axes fixes, sont données, et l'on aura alors trois équations-entre les dérivées secondes des coordonnées par rapport aux axes mobiles, ces coordonnées elles-mêmes et le temps. L'intégration de ces équations fera donc connaître ces coordonnées en fonction du temps, et par suite le mouvement relatif. Les constantes introduites se détermineront par les valeurs initiales de ces coordonnées et de leurs dérivées, et ces valeurs se déduiront de celles des coordonnées absolues, lesquelles sont connues par l'état initial du point.

13. Le mouvement du point, relativement aux axes mobiles, peut être conçu comme identique à un mouvement absolu rapporté à des axes fixes; il suffit de considérer à chaque instant un point dont les coordonnées auraient les mêmes valeurs par rapport à ceux-ci, que le point mobile a par rapport aux autres au même instant. Toutes les propriétés déduites des équations du mouvement par rapport à des axes fixes, pourront donc être appliquées au mouvement relatif; et nous avons fait l'application de cette remarque au principe des aires et à celui des forces vives.

14. On appelle yb/-ce relative du point celle qui produi- .rait, par rapport à des axes fixes, le mouvement identique

à son mouvement relatif. Sa valeur peut s'exprimer au moyen de la /o/ce absolue appliquée réellement au point, et de certaines autres forces fictives. Le principe général sur lequel repose cette conception est dû à Newton, et c'est lui qui, le premier, a ramené la théorie du mouvement relatif de deux points mobiles à celle du mouvement dun point par rapport à un point fixe.

46o DU MOUVEMENT PRODUIT PAR LES FORCES.

15. Une des plus grandes questions de mouvement est celle du système solaire, et nous ne pouvions nous dispenser de nous en occuper, surtout parce que nous v avons trouvé l'occasion de montrer comment une science d'observation a pu devenir une science de raisonnement.

Nous avons pensé qu'il était bon d'exposer la marche par laquelle on a pu déduire de l'observation des astres des faits généraux assez constants pour pouvoir être regardés, au moins dans une première approximation, comme des lois immuables des mouvements de ces corps. Ces lois, découvertes par Kepler, ont été le point de départ de Newton. La théorie qu'il avait créée, surtout pour l'appliquer à ces grands phénomènes, lui a fait connaître les forces auxquelles ils étaient dus, et ces forces étant déterminées, toutes les lois du système du monde en découlaient.

C'est ainsi que Newton a élevé au rang de science de raisonnement l'Astronomie, qui n'était avant lui qu'une science d observation.

16. Mais l'Astronomie étant ainsi ramenée à n'être qu'une simple branche de la science des forces, ses limites étaient celles de cette dernière, qui sont elles-mêmes celles de la Science des nombres et de l'étendue. Newton avait ébauché les solutions des grands problèmes de la rotation des corps célestes, et des perturbations de leurs mouvements; elles ont été bien avancées par ses successeurs, mais elles laissent encore beaucoup à désirer. 11 n'entrait pas dans notre objet de nous occuper de ces questions, où il s'agit principalement du perfectionnement des méthode^ dr calcul.

17. Après avoir exposé la théorie du mouvement d'un point matériel, nous avons lr;nté l;i (pu-siion générait^ du

RÉSIMÉ. 461

niouvcmcnt d un système quelconque de points liés entre eux d'une manière quelconque, et sollicités par des forces quelconques. Ce grand problème se ramène immédiatement à celui de l'équilibre au moyen d'un principe entrevu par Jacques BcrnouUi à propos du pendule composé, et généralisé par d'Alembert, dont il porte le nom.

Cet équilibre est celui du système même considéré comme sollicité par les forces qui lui sont appliquées, et par les forces d'inertie développées à chaque instant par tous les points matériels qui le composent. Celte considération donne autant d'équations qu'il y a de quantités à déterminer en fonction du temps. De cette manière, le problème général du mouvement est ramené à un problème de calcul, et la science des forces rentre complètement dans les sciences de raisonnement précédemment étudiées.

18. Nous aurions pu nous arrêter là, puisque tous les principes étaient établis, et que la science était ramenée à de simples questions de calcul; mais nous avons cru devoir présenter quelques conséquences générales de la formule qui renferme virtuellement toute la science du mouvement. Nous avons démontré les théorèmes sur le mouvement du centre de gravité, et sur les aires décrites dans le cas d'un système libre quelconque, sur les forces vives et sur la propriété de la moindre action dans des cas plus restreints. Enfin, en vue de l'application au système du monde, nous nous sommes occupe sommairement du mouvement d'un corps solide libre ou lié à un axe fixe ou à un point fixe, et du mouvement d'un système de points libres soumis à leurs actions mutuelles.

Nous croyons avoir accompli la tâche que nous nous étions imposée. Nous voulions fonder la science générale des forces rigoureusement définies et données par leur

point d'application, leur direction et leur intensité. Nous devions donc nous interdire l'étude de l'équilibre et du mouvement des liquides et des gaz, ainsi que des petits mouvements inférieurs des molécules des corps qu'on appelle solides. Ces plxénomènes sont produits par des forces en nombre infini dont les intensités et même les directions ne sont pas données, et sur lesquelles il faut faire des hypothèses si l'on veut les soumettre au calcul. Peut-être nous en occuperons-nous plus tard, en essayant d'en indiquer le véritable caractère; mais, dans cet Ouvrage, doul l'objet était l'exposition rigoureuse diine science de raisonnement, nous avons cru ne devoir admettre que des données simples, et immédiatement vérifiables au moven d'expériences directes et précises.

FIN DE L.V QUATRn:ME PARTIE.

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Duhamel, Jean Vfeirie Constant

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