CHAPITRE VI. i-iy

rendre ce seul déplacement possible, par exemple en fixant les courbes décrites par les différents points, et assujettissant ces points à ne pas les quitter. Ces nouvelles liaisons n'empêcheront pas le déplacement d'avoir lieu : et par conséquent, dans la supposition où nous nous sommes placés, il faut admettre que les forces données ne seront pas en équilibre, malgré l'inlroduclion de ces nouvelles liaisons. Or, si cela est, on pourra introduire une force qui mettra le svstème en équilibre; car il suffira de la faire agir suivant la tangente à la courbe décrite par un quelconque des points, en sens contraire du déplacement de ce point, et avec une intensité égale à celle que produirait un obstacle fixe opposé en ce point sur la courbe. Mais l'équilibre avant lieu, la somme des moments virtuels des forces données et de cette dernière devrait être nulle, pour le déplacement en question; et comme le moment de la dernière force n'est pas nul, puisque le déplacement est dans sa direction même, la somme des moments des forces données ne serait pas nulle : ce qui serait contraire à l'hypothèse. 11 ne peut donc y avoir aucun déplacement si la somme des moments des forces est nulle pour tous les déplacements compatibles avec les liaisons du système. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Lorsqu'un corps solide n'est pas entièrement libre, il est nécessaire et suffisant, pour cju'il soit en équilibre, que la somme algébrique des moments virtuels des forces qui y sont appliquées soit nulle pour tous les déplacements infiniment petits compatibles avec les liaisons données.

Remarque. — Le cas d une droite rigide dont les différents points sont sollicités par des forces quelconques, rentre dans le cas général qui vient dètre traité, et par conséquent les mêmes conclusions s'y appliquent. Rien ne serait plus facile d'ailleurs que de le traiter directement. On commen-

I7.S DE l'Équilibre des force?.

cerait par remplacer toute force appliquée en un poim quelconque de la droite par deux autres parallèles, appliquées à ses extrémités, ce qui n'altérerait pas la somme des moments virtuels. La démonstration s'achèverait alors sans difficulté, puisque ces deux forces, en y comprenant les résistances des surfaces ou lignes, s'il y en a, devront èlie égales et directement opposées.

103. Exemple d' un système flexible. — Considéron-» maintenant un fil llexible et inextensible, assujetti à passi r par un point fixe sur lequel il peut glisser.

Nous avons vu qu'un fil qui n'éprouve que des résistâmes normales en tous ses points, excepté à ses deux extrémités, a partout la même tension, et que par conséquent les deux forces qui v sont en équilibre sont égales et tendent à le mouvoir en sens contraires.

Ce cas général renferme celui où le fil passe sur des sur faces qui ne produisent aucun frollcmenl, ou dans des anneaux, ou par des points fixes : et, dans la réalité, ces deux derniers cas lentrent dans le premier. Ainsi, dans la question qui nous occupe, les deux Ibrces en équilibre sur le fil sont égales et tirent le fil en sens contraires.

Or la liaison des deux points extrêmes où sont appliquées les forces, consiste en ce que le fil soit toujours tendu, siin> quoi il n'y aurait aucune action transmise par lui ol aucniir liaison entre les deux extrémités. Nous j>rcndroiis denn . comme condition des déplacements virtuels, que la somnir des distances des deux points extrêmes du /il au point fixe sur lequel il peut glisser soit constante.

En entendant de celle manière la liaison des deux poini> extrêmes, les projeclions des deux parties du fil sur Kins directions avant le déplacement \irluel, donneront tloiu aussi la même somnjo. .in\ inlinirncnl petits du s»'( oiul ordre près; et par conséquenl les projtM^iidiis de^ dt-pLic» -