VX

Il s'agit de démontrer que ces conditions entraînent celle que, pour tout déplacement infiniment petit du svsième rigide, la somme algébrique de tous les moments virtuels des forces appliquées soit nulle, et réciproquement : condition (pii, d'après l'expression générale donnée précédemment pour le moment Po/>, s'exprimera par l'équation

2(xs^

Yôv -T-7.0Z) = o,

cx, ij', zz- désignant les variations algél)riques des coordonnées rectangulaires x, y, z-, en passant de la position donnée à une autre voisine quelconque, si le corps est entièrement libre; et compatible avec ses liaisons, s'il en existe. Rappelons-nous, pour cela, qu'en géométrie il est démontré, dans la théorie des déplacements des svstèmes rigides, (pie tout déplacement infiniment petit d'un corps solide j)cut être regardé comme le résultant de deux autres : l'un de translation, par lequel un j)oint (juclconque, considéré comme lié au système, passera de sa première à sa seconde position ; l'autre de rotation autour de ce point, et qui peut être remplacé par trois autres effectués successivement autour de trois axes passant par ce point, en parlant toujours de la position occupée par le corps après la translation. Les sommes algébriques des variations des coordonnées de chaque point dans ces divers mouvements seront, en négligeant les infiniment petits du second ordre, les

I'>1 DE L EOl'IMBRE DES FORCES.

accroisscmenls ox, ij\ 5r, relatifs au passage de la premit r»position f]u corps à la seconde.

Le point dont le déplacement constitue la translation du système étant arbitraire, nous choisirons pour cela l'origine A des coordonnées, et nous désignerons par <7. b, r. les composantes de son déplacement.

Soient 2, 6, y les rotations infiniment petites (|ii"il faut opérer autour des axes des x. y^ :■, supposés rectangulaire>. pour obtenir, comme nous l'avons dit, la nouvelle position du corps; ces quantités, considérées comme entièrement indépendantes, correspondront à toutes les positions po>sibles autour du point fixe. Si le corps n'était pas entièrement lil>ro. il ne pourrait prendre toutes les positions, el X. 6, Y ne seraient plus entièrement arbitraires; et il en serai' de même de a, 6, c; mais nous supposerons d'abord (pie !<• système ne soit nullement gêné dans ses déplacements, el puisse être transporté dans une position quelconque.

Cela posé, la rotation a autour de Taxe AX fora varier les coordonnées x, y^ z d'un point quelconque, des quantités respectives o, — a;, -^ a)' Désignant ces variations partielles par la caractéristique ;,, nous aurons donr

o,.r — o, ?jQ' = — xz, OjC -av.

Désignant de ménip par c-j, $3 les variations provenant des rotations 5, y? nous aurons, en cliangeanl les lettres .r, j', r les unes dans les autres suivant la loi, [)lusieurs fois rappelée,

On aura donc, d'après ce qui luéièdc,

Zx ■=: a -\- ît z — ■^y, 8v — h ♦- Y-'— 2c-, ûJ ■— c H X >■ - - 6jr,

CUVPITRE VI. ,^j

et pai- suite

7 ( \ OX -i- Y ùV -r- Zoz)

= y(aX-i- b\ -r-cZ)

-r-\[X{^Z-';y) -:- \\-;.v - -j^z) - Z ,v ^- ., . . ou, en réunissant les coeffieienls des mêmes indéterminées,

-^ aV (^)-Z - ;Y) -f- ^.^^-"^ - '*'^ > -^ Y 2](^-V-^»X).

Or si le corps est en équilibre, les coefficients de a,l/,c, a, 1,7

sont nuls (n" 06) ; et par conséquent ^(Xc.r — V s v — '/ Iz )

est nul pour tous les déplacements infiniment petits de ce corps. Réciproquement, si cette dernière condition a lieu, il faut que le second membre soit nul, quels que soient «, b, c, a, 6, Yj ce qui exige que leurs coeffieienls soient nuls séparément : doù résultent les six équations connues de l'équilibre. On conclut de là que :

Pour qiiun système rigide libre. soUicité par des forces quelconques, soit en équilibre, il est nécessaire et suffisant que, pour tous les déplacements infiniment petits de ce système, la somme des moments virtuels des forces soit égale à zéro.

101. Remarque. — Si un s\stème de forces appliqaées à un corps solide libre n'est pas en équilibre, mais peut se réduire à une force unique, le moment virtuel de cette ré-

i'26 DE l'Équilibre des forces.

sultante sera égal à la somme de ceux des comrposanles. Car il y aurait équilibre en inlroduisant une force égale et opposée à la résultante; la somme des moments serait donc nulle : et, comme celui de la force introduite est égal et de signe contraire à celui de la résultante, il s'ensuit que ce dernier est égal à la somme de ceux des forces données.

102. Considérons maintenant un corps solide qui ne soit pas entièrement libre, et dont certains points soient, ou fixes, ou assujettis à rester sur des lignes ou des surfaces fixes; et supposons des forces en équilibre sur un pareil système. Les surfaces ou lignes fixes ne pourront produire que des forces qui leur seront normales, et les points fixes pourront en produire dans des directions quelconques. Or, si l'on introduisait ces dllïerentes forces inconnues, l'équilibre aurait lieu entre elles et les proposées, en supposant ce système entièrement libre; et, par conséquent, il est nécessaire et suffisant pour l'équilibre que la somme des moments virtuels, tant des forces données que des nouvelles forces introduites, soit nulle pour tous les déplacements possibles du système considéré comme libre.

Mais, si l'on choisit seulement les déplacements compatibles avec les liaisons données, les moments virtuels seront évidemment nuls pour chacime des forces inconnues, et par conséquent :

La somme des ntomri)ts lirtiicls des forces données sera nulle pour tous les déplacements du corps (fui sont compatibles avec ses liaisons.

llétipro(piement, si la somme des monicnis viiturls des forces données est nullr pour ions les déplacements compatibles avee les liaisons, le SNslème sera en écpiilibrf.

Vm elb't, supposons (piii n'y soit pas et (pie sous l'arlioii de ces forces il prciiiic un cniam (l('|)la('rm»Mil . (^ii pouir.i. «Ml iiilioduisanl de nonvrllcs liaisons, s'il e>t m-cessaire.