DEMONSTRATION GENERALE DU PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

104. Nous commencerons par définir avec précision le système sur lequel les forces données sont en équilibre.

Ce système peut être composé de parties rigides dune étendue finie, ou corps solides, et de points sans étendue sensible. Ces points, ou des points particuliers des solides, peuvent être liés les uns aux autres par des droites inflexibles et inextensibles, ou par des fils flexibles; ils peuvent être assujettis à rester sur des surfaces ou des courbes fixes ou mobiles, sans résistance tangentielle. Les corps faisant partie du système peuvent toucher et presser, suivant la direction de la normale commune, d'autres corps mobiles et faisant aussi partie du système, ou bien des corps fixes. Enfin les surfaces de corps appartenant au système peuvent être assujetties à passer par des points fixes, sur lesquels elles peuvent librement glisser.

Cela posé, des forces quelconques étant supposées appliquées à des points d'un pareil système, il s'agit de démontrer que, pour tout déplacement virtuel, c'est-à-dire com- DiH. — Mf th. IV. 9

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patihlc avec les liaisons, la somme des moments virtuels infiniment petits est égale à zéro; et réciproquement.

Soit M un point quelconque, auquel sont appliquées des

forces données P, Q, R Soient F, F'. ... des actions

exercées sur M par d'autres points M, M'. ... du svstème et dirigées suivant mm\ mm", ... ; ces forces seront inconnues si elles proviennent de la liaison des points par des droites de longueur constante; mais si ce sont des actions mutuelles dont la loi soit donnée, elles pourront s'exprimer en fonction des coordonnées de ces points, et nous les regarderons comme renfermées dans les forces P, Q, R. Enfin, soit jN la force normale produite sur le point M par la résistance d'une surface fixe ou mobile, sur laquelle il soit obligé de rester. En introduisant toutes ces forces, le point M pourra être considéré comme libre; et, s'il est en équilibre, la somme des moments virtuels sera nulle, pour tout déplacement infiniment petit, et par conséquent pour tous ceux qui seront compatibles avec les liaisons données. En entendant ainsi ces déplacements, on aura

i P^p-Qoq -R5r ...

'\ -Foiimm') -F'ùiimm"). -^^n - N'8«'- . . . -:o,

la caractéristique Oi désignant la variation correspondante au déplacement du point m seulement.

On aura des équations analogues pour chacun des autres points. Considérons ceux qui fournissent des termes dans l'équation (i). Dans l'équation relative au point//»', le terme introdtiit par l'action do //? sera Fio (mm'), z-, désignant la variation relative au déplacement de m' seul, m restant fixe. De sorte que, par l'addition de l'équation (i) et de celle seconde, les deux termes renfermant F se réduiront à FB(//mi'), B désignant la variation de la dislance mm' quand les deux extrémités se déplaconl pour parvenir aux positions qu'elles doivent avoir, après le déplacement \irtuel donné

CIIAPITRr VI. i3i

au système entier. Or. d'après 1 hvpolhèsc, mm' a. une valeur conslanle; donc c(mm') est nul, el la force F n'entrera pas dans l'équation résultant de l'addition.

Nous n'avons fait ici aucune distinction entre une tiçre inflexible et un fil flexible restant rectiligne et de lons^ueur constante. Mais, s'il s'agissait d'un fil passant par un point fixe sur lequel il pourrait glisser, ou qui pourrait glisser sur lui, les deux parties rcctilignes ne seraient plus constantes, mais leur somme le serait. Les projections des espaces parcourus par les deux extrémités sur les directions respectives des fils seraient encore égales, ainsi que les deux forces provenant de la résistance du fil : leurs moments virtuels seraient encore égaux et de signe contraire, et disparaîtraient encore dans l'addition des équations.

Supposant donc qu'on ait ajouté les équations analogues à (i) et relatives à tous les points du système, toutes les forces F, F' auront dis[)ara. \ ovons ce que deviennent les moments qui proviennent des forces J\.

Si la surface qui produit la force normale N est fixe, le déplacement du point d'application s'eflectuant sur cette surface même, Zn sera nul, le moment N zn sera donc nul: et il en sera de même de tous ceux qui proviendront de la résistance de surfaces fixes.

Si la surface est mobile, on ne sera plus nul, et le moment Ncrt restera dans l'équation (i). Mais le point exerce sur la surface une réaction égale et opposée, dont le moment virtuel serait par conséquent — Nîaî. Or le corps solide dont la surface produit la force N doit être en équilibre au moyen de toutes les forces extérieures qui y sont appliquées, et parmi lesquelles il faut compter la réaction du point. Donc, d'après ce que nous avons vu précédemment, la somme des moments virtuels de toutes ces forces est nulle, el dans cette équation se trouvera le terme — Nc/j ;de sorte que. dans la somme des équations, les deux ternies renfermant î\

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se délruiront, et celle force inconnue disparaîtra. II en serait de même pour tous les points assujellis à rester sur Jes surfaces mobiles. Enfin, il peut arriver qu'un des corps du système soit en contact avec un autre, d'où résultent des pressions normales, égales et opposées. Nous prendrons, dans ce cas, comme condition, que les deux surfaces restent tangentes après leur déplacement. Alors le plan tangent commun ne pouvant s'incliner que d'un angle infiniment petit sur sa première position, les deux points en conlact peuvent être considérés après leur séparation comme étant à une même distance du premier plan langent : distance qui devient nulle si l'une des surfaces est fixe. Le déplacement virtuel des deux points donne donc une projection égale sur la normale commune, et par conséquent les deux moments virtuels des forces de pression sont égaux et de signes contraires, ou nuls, et disparaissent dans la somme.

La même conséquence s'applique au cas où la surface de l'un des corps serait assujettie à passer par des points fixes sur lesquels elle pourrait librement glisser. Car ces points peuvent être considérés comme des surfaces infiniment petites, auxquelles la surface du corps serait assujettie à être tangente.

Il résulte de cette discussion que, dans la somme des premiers membres des équations fournies par l'équilibre des diverses parties du système, il ne reste que les moments virtuels des forces données, ou des forces mutuelles exercées par les points les uns sur les autres, suivant des lois données.

Désignant ces diverses forces sous le nom île Ibrces extérieures, pour les distinguer des forces inconnues provenant des liaisons, et que nous appellerons intérieures, les conséqu<'n(es précrdcntes coiuluisont à celle proposition générale.

Lorsqu'un système assujetti à des liaisons queleonques^

niAPITRE VI. l33

du genre de celles que nous avons déjînies, est en équilibre, sous l'action de forces extérieures quelconques, la somme des moments virtuels de ces forces est nulle pour tout déplacement infiniment petit compatible avec les liaisons du système.

lOo. Récij)roque. — La r/ciproque do celle proposition est vraie, c'est-à-dire que, si, pour tous les déplacements infiniment petits compatibles avec les liaisons, la somme des moments virtuels est nulle, le système est en équilibre. En elTot, s'il n'y était pas, il prendrait un déplacement déterminé, et chaque point décrirait une certaine ligne, en vertu des forces données et des liaisons. Quelles que soient ces lignes, on ne changera rien au déplacement en introduisant de nouvelles liaisons qui ne permettraient au système que de prendre celui-là même qu'il prend, de telle sorte que le déplacement dun seul de ses points déterminerait celui des autres. Ces liaisons étant supposées introduites, prenons le déplacement virtuel suivant ce déplacement, devenu seul possible. Pour ce déplacement, par hypothèse, la somme des moments virtuels sera nulle, c'est-à-dire sera un infiniment petit d'un ordre supérieur au premier; et le premier ordre sera déterminé en général par le déplacement de chaque point. Si cependant, dans un cas particulier, quelques points décrivaient dans ce déplacement des espaces infiniment petits par rap|)orl aux autres, ce sont ces autres qu'on choisirait pour déterminer le premier ordre. Maintenant considérons un des points, correspondant à un moment virtuel infiniment petit du premier ordre; cl empêchons son déplacement, par e.xemple par un obstacle placé sur la ligne qu'il décrit, et qui produira une force opposée au déplacement qu'il tendiiit à prendre. Le point, et par suite le système, restera en repos, et la force introduite jointe aux forces donnée; produira 1 équihbre. Donc,

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d'après la jjroposilion précédenle, la somme des momenls virtuels sera nulle pour le déplacement dont nous venons de jiarlcr. Mais cela est impossible, puisque le moment virliiel de la force introduite est un infiniment petit du premier ordre, et que la somme des autres est, par hvpolhèse, nulle ou d'un ordre supérieur au premier. On arrive donc à une contradiction en supposant que des forces ne soient pas en équilibre sur un système pour lequel la somme des moments virtuels est nulle, pour tous les déplacements infiniment petits compatibles avec les liaisons.

On peut donc énoncer ce principe général :

Lorsqu'un système de points, soit libres, soit assujettis à des liaisons quelconques, telles que nous les avons défi.nies, est sollicité par des forces quelconques, il est nécessaire et suffisant, pour qu'il y ait équilibre, que la somme des moments virtuels des forces extérieures agissant sur le système soit nulle pour tout déplacement infiniment petit compatible avec les liaisons.

C'est en cela que consiste ce qu'on appelle le principe des vitesses virtuelles.

Remarques. — i" En supposant tmijours Irs conditions sous lesquelles nous avons démontré ce |)rincipe, il est clair que, si Ton chang^e le sens de toutes les forces, il v aura encore équilibre, jiuisque les moments virtuels n'auront fait que changer de signe; 2° deux systèmes de forces appliquées à des points liés entre eux d'une manière quelconque, étant dits équivalents relativement à un système de points, lorsqu'ils peuvent se remplacer l'un l'autre sur ce système, il résulte du principe dos vitesses virtuelles que la somme des moments vij-tuels de deux systèmes équivalents est la même, puisiiu'elle est égale et de signe contraire ù celle du sv>t( me (|iii est ou qui serait en équilibre avec l'un ou l'auln-.

Kcciproijuemeiit, si la somme des moments \irluels de