CHAPITRE M. l

deux systèmes esl la même, ils seront équivalents, car chacun d'eux ferait équilibre au système contraire à l'autre.

106. Pour exprimer le principe que nous venons de démontrer par une formule algébrique, désignons par P, Q, R, . . . les intensités des diverses forces appliquées aux points du système, et par/?, q^ /-, ... les distances de ces points à des points fixes pris sur les directions mêmes de toutes les Ibrces, ou sur les directions contraires : la condition d'équilibre sera exprimée par l'équation

' ou

I yps/^^o,

la' somme X se rapportant à toutes les forces extérieures,

c'est-à-dire à celles qui ne proviennent pas des liaisons du système.

Si l'on remplace chacune des forces par ses composantes parallèles aux axes X, Y, Z, et qu'on se rappelle la formule

démontrée générale (n" 96), en tenant compte des signes de X, Y, Z, x^ y^ z, l'équation (2) pourra être remplacée par la suivante :

(3) y{Xox~.-YoV'Zoz):o.

Nous allons voir comment celte équation peut donner les conditions de l'équilibre d'un système quelconque.

Supposons d'abord, comme on le fait ordinairement, que les liaisons du système puissent être exprimées par des équations entre les coordonnées de ses différents points, et

I jO de l'éoiilibre des forces.

soient

n équations données entre les coordonnées des /?? points qui composent le système; les variations de ces coordonnées satisferont aux équations

^L ^ dL ^ dh ^ dL ^ ,

dx dy ^ dz d.v

dL\ dL\ dL\ dL\ ,

(4) < dx dj - dz dx

J d\J' ^ dU ^ 'IL" ^ dL" ^ ,

I — ; — ô.r - —, — OV -i ;— 0- - -j— r OX -^ . . . " O,

f dx dy - dz dx

Si l'on tire de ces n équations la valeur de n variations et qu'on les reporte dans l'équation (3), elle en renfermera encore 3/?? — /?, qui seront entièrement indéterminées. Et comme cette équation doit avoir lieu pour tous les déplacements qui satisfont aux conditions du système, elle sera satisfaite, quelque valeur que Ton donne à ces indéterminées; ce qui exige que les coefficients de chacune d'elles soient nuls séparément. On aura ainsi Zin — n équations, nécessaires et suffisantes pour l'équilibre. En les joignant aux n équations données, on aura un nombre d'équations égal au nombre des coordonnées des points du système.

Elles pourront servir à déterminer les positions d'un certain nombre de points d'application, ainsi que les grandeurs et les directions d'un certain nombre de forces, de manière que l'équilibre ait lieu.

L'élimination de n variations entre les équations (3) et (4) peut s'effectuer de diflerenlcs manières. On pourrait linr leurs valeurs des n é(|ualions (/î) et les substituer dans l'é(|uation (3), puis égaler à /.éro les coefficients des 3/;/ — n restantes; mais il vaut mieux multiplier les équations ( i) par des facteurs indéterminés À, X', X", .... puis