CHAPITRE VI. l

a étant un paramétre variable qui détermine chaque génératrice de la surface, et qu'il faut éliminer entre ces deux é(|uations pour avoir celle de cette surface.

Si Ton faisait l'élimination de «, on rentrerait dans le cas précédent ; mais, si Ton ne peut pas, ou si l'on ne veut pas la l'aire, on peut s'en dispenser. En effet, pour passer du point donné (.r, )', ;) à un point infiniment voisin sur la surface, il faut d'abord augmenter Va qui s"v rapporte d'une (juanlité infiniment petite c(i pour passer à une génératrice voisine, et changer x, y, z en x — ox, y — s}', z -'- ;;, en exprimant que ces nouvelles coordonnées satisfont aux équations de la nouvelle génératrice, ce qui donne, en retranchant les équations deux à deux,

dF , dF , dF , dF ^

-j— ojr -': — y— 6v 7- àz j— 6a - r o,

dx dy " dz da

djc dy " dz " da

On aurait ainsi deux équations, au Heu d'une, entre les variations ; mais aussi il y a de plus la variation ort, ce qui laisse le même nombre de variations arbitraires. On rentrerait dans le premier cas en éliminant ta entre les deux dernières équations.

109. Donnons maintenant un exemple du cas où les liaisons ne pourraient être exprimées par des équations où les coordonnées des points seraient les seules variables.

Supposons que certains points du système soumis à laclicn des forces X, Y, Z; X', Y', Z'; .... soient assujettis seulement à rester sur une surface de forme donnée, entièrement libre, sur laquelle ils peuvent glisser en tous sens. L'équation de cette surface, par rapport à des axes qui lui seraient invariablement liés, est donnée, et on l'obtiendra par une transformation de coordonnées, rapportée aux axes

i4o DE l'éqiilibre des forces.

donnés. On aura de cette manière une équation entre les coordonnées x, y, z d'un point quelconque de la surface, et six paramètres variables avec la position de celle surface, et qui seront les trois coordonnées <7, b, c du point pris pour origine des axes mobiles, et trois angles ç, 6, 'i qui déterminent leurs directions.

Soit

celte équation. Il s'agit de trouver les relations qui en résultent entre les déplacements virtuels zx^ B;', 5c, Bj"', 5j'', . . ., des points assujettis à rester sur cette surface, dans toutes les positions infiniment voisines de celle qui correspond à réquilibre. Or les coordonnées x^y^ z, après être devenues .r -f- Ix, y -h Sj', z H- 5s, . . . , doivent satisfaire à l'équation de la surface dont les paramètres sont devenus a -(- la, b + Ib^ . . . , el l'on aura par conséquenl, en retranchant les deux équations,

dV ^ d¥ ^ d¥ ^ dF ^ dF ^, dF ,

-r- àx -h -}- ùV ■+- -j- ùz -^ -j- M -h -TT àb — -j-- te dx dy "^ dz da do de

dF , dF ,^ dF ,,

On aura de môme, pour le point (jc', j»', ;'),

dV ^ .dF ^ ,dF ^ , dF' ^dF' dx dy •' dz da no

, dF dF ,.„, , ^F dF

en entendant que —j—, —-- ne diilerenl de -p-, -tt- que par ^ da db da db ' '^

le changement de .r,;»', c en r', i', z' .

On agirait de même pour tous les points assujettis à rester sur la même siirface.

Cela posé, soient X, ;ji, v, . . . les divers facteurs p;ir lesquels on multipliera ces équations,' pour les aj«Mil«M- à relie des vitesses virtuelles, d'après l.i méthode précédente ; en