REMARQUE IMPORTANTE

32. Lorsqu'un ensemble de conditions est réciproque d'un autre, comme nous venons de le supposer pour les problèmes substitués les uns aux autres, il y a identité dans les solutions fournies par les problèmes différents auxquels ils correspondent l'un et l'autre. Mais il ne serait pas exact de dire que les diverses conditions de l'un et de l'autre sont les mêmes; et, par conséquent, il ne le serait pas non plus de dire que la réunion de ces conditions est identique à la réunion des autres, qui en sont individuellement différentes. Cependant deux systèmes de conditions qui conduisent aux mêmes solutions, et qui peuvent être indifféremment substitués l'un à l'autre, au point de vue seulement des choses demandées, méritent d'être désignés d'une manière spéciale l'un par rapport à l'autre. Nous les appellerons systèmes équivalents. Il n'y a d'identiques que les choses mêmes qui constituent les solutions.

CAS ou LES RAPPORTS SUBSTITUÉS SERAIENT SIMPLEMENT DES CONSÉQUENCES DES PROPOSÉS.

33. Nous avons commencé par ramener le problème proposé à un autre dont les conditions entrainaient celles du premier, et nous avons montré ensuite que toutes les

DE l'analyse. 47

solutions du nouveau étaient certainement des solutions du premier, mais qu'elles pouvaient ne pas les renfermer toutes. Voyons maintenant ce qui arriverait si la dépendance entre les conditions des deux problèmes était inverse, en admettant toujours que la réciprocité n'ait pas lieu. Supposons donc un nouveau problème dont les conditions soient simplement des conséquences de celles du premier \ il suivra de là que toute solution du premier sera solution du second, puisque tout ce qui satisfait aux conditions du premier satisfera nécessairement à celles du second. Mais toutes les solutions du second ne le sont pas nécessairement du premier, puisque, d'après l'hypothèse, il serait possible qu'on satisfit aux conditions du second sans satisfaire à celles du premier. Le second problème a donc toutes les solutions du premier, mais il peut en avoir d'étrangères. On peut donc énoncer cette proposition générale :

Si, dans les problèmes substitués les uns aux autres en partant du proposé, les conditions de l'un quelconque sont des conséquences du précédent, les solutions de l'un quelconque d'entre eux renferment toutes celles du proposé, et peui^ent en outre en renfermer d'étrangères,

34. Nous pouvons résumer ainsi qu'il suit les diverses circonstances que présente la résolution des problèmes par la méthode analytique, en concevant toujours que, si les choses cherchées dans les problèmes successifs changent, on considère les choses proposées qu'elles déterminent.