MÉTHODE ANALYTIQUE POUR LA SOLUTION DES PROBLEMES

28. Nous avons dit que, dans un ordre quelconque de choses, l'objet d'un problème est de déterminer une ou

DE l'analyse. 43

plusieurs choses, d'espèces données, ayant des rapports désignés avec des choses données, ou, en d'autres termes, satisfaisant à des conditions données. Or on aura évidemment des choses de l'espèce désignée qui y satisferont, si l'on en trouve de cette même espèce assujetties à de nouveaux rapports qui entraînent les premiers comme conséquences nécessaires. Si ce nouveau problème est plus facile à résoudre que le premier, la question sera avancée.

Et l'on pourra même ne pas s'assujettir à prendre pour objet de la recherche des choses de l'espèce demandée; il suffira que la connaissance des nouvelles choses entraine immédiatement celle des proposées. Il sera alors indiilérent de déterminer les unes ou les autres, et l'on sera moins gêné pour la transformation de la question. On aura ainsi ramené le problème à un autre où de nouveaux rapports seront imposés à de nouvelles choses.

Si ce second problème ne peut être immédiatement résolu, on cherchera de la même manière à le ramener à un troisième, dont toutes les solutions en fourniront du second comme celles du second en fournissaient du premier.

Si l'on ne peut résoudre immédiatement ce troisième, on cherchera semblablement à le ramener à un quatrième, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on parvienne à un problème que l'on sache résoudre. Alors chacune de ses solutions en fera connaître du précédent; chacune de celles-ci en fera connaître du problème qui précède, et en remontant ainsi jusqu'au premier on voit que chaque solution du dernier problème en fournit une du proposé.

Cette méthode s'appelle encore analyse, parce qu'elle ramène le problème proposé à une suite d'autres, jusqu'à ce que l'on en trouve un qu'on sache résoudre ; comme dans le cas des théorèmes, la méthode que nous avons appelée analyse ramène la démonstration du proposé à une suite d'autres, jusqu'à ce que l'on parvienne à un théorème

connu. Cette identité de marche pour les deux genres de questions constitue une seule méthode qui ne pouvait être désignée que par une seule dénominatiqn.

29. Les problèmes que l'on substitue successivement Jes uns aux autres ne sont pas déterminés d'une manière absolue ^ le choix peut en être fait avec plus ou moins de discernement, et quelquefois, au lieu de se rapprocher de la solution du problème, on pourra s'en trouver plus éloigné. Aussi nos méthodes ne sont présentées que comme des moyens de chercher, et non de trouver sûrement. Elles indiquent comment on doit diriger ses tentatives, mais sans dire en quoi elles doivent précisément consister, ni si elles auront quelque succès. Il ne faut pas s'en exagérer la puissance 5 mais on serait bien loin de la vérité si on les regardait comme inutiles.

QUE LES RAPPORTS SUBSTITUÉS DOIVENT ETRE RÉCIPROQUES POUR QUE LA SOLUTION SOIT PARFAITE.

30. Les rapports substitués, comme nous l'avons dit, à ceux qui étaient imposés aux choses demandées peuvent ne leur être pas réciproques, c'est-à-dire que des choses de l'espèce désignée qui satisferaient aux conditions imposées pourraient ne pas satisfaire aux nouvelles, qui ont seulement été choisies telles, que les choses qui y satisfont satisfont aussi aux proposées. Dans ce cas, toute solution du problème substitué au proposé serait bien la solution de celui-ci -, mais quelques solutions de celui-ci pourraient ne pas être des solutions du nouveau problème ; et par conséquent, en résolvant complètement ce dernier, on pourrait n'avoir pas résolu complètement le proposé. En effet, puisque les rapports imposés par la question aux choses de-

DE l'analyse. 45

mandées, et qui constituent les conditions du problème proposé, peuvent être satisfaits sans que ceux du second le soient, il pourrait donc y avoir des solutions du premier qui ne le seraient pas du second, et ces solutions seraient perdues si l'on se bornait à déterminer celles du second. Mais si, au contraire, les conditions du second problème et celles du premier sont réciproques, tout ce qui satisfera i celles du premier satisfera à celles du second, et par conséquent toutes les solutions du premier problème seront des solutions du second. Si donc on trouve toutes ces dernières, on ne perdra aucune de celles que Ton demande, et de plus, comme nous l'avons établi d'abord, on n'en aura aucune qui ne satisfasse à la question proposée 5 d'où il résulte que les solutions du premier et du second problème sont exactement les mêmes. On raisonnerait de même pour les autres problèmes intermédiaires, et par conséquent on peut énoncer cette proposition générale :

Si dans les problèmes que Von substitue les uns aux autres, en partant du proposé, les conditions de deux consécutifs quelconques sont réciproques, lès solutions du premier sont identiques ai^ec celles du dernier et de l'un quelconque des autres,

31. Dans ces raisonnements nous avons supposé, pour plus de simplicité, que les choses demandées étaient toujours l'objet de la recherche dans chacun des problèmes successifs. Mais, comme nous l'avons dit précédemment, les choses peuvent changer de l'un à l'autre aussi bien que les rapports qui leur sont imposés. Rien ne sera changé au fond dans tous nos raisonnements^ seulement la réciprocité de conditions entre deux problèmes ne consistera pas seulement dans la réciprocité des rapports imposés, mais dans celle de ces rapports considérés conjointement avec les choses elles-mêmes; ainsi nous dirons que les conditions

de deux problèmes sont réciproques, lorsque, connaissant des choses satisfaisant aux rapports imposés par l'un quelconque de ces problèmes, les choses correspondantes de l'autre satisfont aux conditions qui leur sont imposées dans cet autre. La conclusion générale à laquelle nous étions parvenus subsiste encore complètement