CHAPITRE XXX II

Mai» d'abord il faut s'assurer s'il y a une limite. Or le rapport d'un terme au précédent étant exprime généralement par — ■— — x, dont la limile est — X quand n croit indéfiniment, la série serait divergente si x était plus grand (jue l'unité en valeur absolue. Il faut donc se borner â chercher la valeur de la série quand m est quelconque, et x plus petit que l'unité en valeur absolue. Désignons par? (m) cette limite, c'est-à-dire posons

cette fonction <j> (m) renferme bien x, mais nous ne le mettons pas en évidence, parce que nous ne nous proposons de

Donnant à m une autre valeur différente quelconque »,

Cela posé, F.uler multiplie les deux séries, et observe que les réductions se feront de la même manière, quels que soient m et n ; et comme dans le cas de m cl n entiers et positifs les séries représentent + et (1 -r-j;)" et leur produit, (1 les coefficients des différentes puissances de x dans ce produit renfermeront (m + 11} de la même mauière (.) e. (.J mil».™ » .1 ... D'où il tondulquel. forme du produit sera ç (»i ■+- h), quels que soient m et n.

Ce raisonnement est insuffisant, mais il a conduit Eulcr à une conséquence juste, exprimée pur l'équation (3) ,(»),(») = ,(» + »).

31)8 SCIENCE DES riOHBKES.

Mais il est facile de la démontrer rigoureusement. En effet, si des séries (i), (i) on en déduit une troisième, comme il a été dit (chapitre XXX, n" 210), le terme en x? y aura pour coefficient l'expression

nt (m — Q...(m — p+l) + m ( m — i) . . . (m — p + a) n +

et l'on sait que, quels que soient m et n, cette somme est

c'est-à-dire au coefficient du terme en a^de (i).dans lequel on change»» en m-f-n.

En effet, quand m et n désignent des nombres entiers plus grands que /). celle somme n'est autre chose qu'une décomposition du nombre exact (les combinaisons que m ■+■ il objetspeuïent donner en les prenant ph p. Cette égalité étant ainsi démontréi.', peur toutes les valeurs entières de m rt n qui surpassent le nombre p, il s'ensuit {chapitre XVII) que ces deux fonctions entières de m et n sont identiques, c'està-dire composées des mêmes termes en m et n, quels que

Mais comme on a démontré (n°23-l) que pa r ^ procédé qui l'a produit on doit trouver f{m) f (n), on en conclut rigoureusement l'équation (3).

De cette équation Euler a déduil, comme nous l'avons fait (chapitre XXIX), A désignant un nombre entier positif quelconque,

(4) ? ('»)' = re-

cela posé, si »i est une fraction positive quelconque A

cniFiTHH xum. 399 l'équation (4} donnera, en faisant k = r,

Et comme 9 est entier, on a

d'où

et, par suite,

D'où H réstilic que le développement (i) est celui de (i + r)™ quand m est un nombre positif quelconque.

Supposant cnsuîle m négatif, et prenant n = — m, l'équation (3) donne

Or, quand m = o, la fonction <f devient (i). On a donc

et tomme — m est positif, on a

d'où

D'où il conclut que quelque valeur réelle qu'on donne

SCIENCE DES KUHEOF.S.

Telle est, avec le* légères moili (ici lions que nous avons indiquons, la démonstration donnée par Eulcr, de la formule qui donne dans tous les cas le développement de la puissance m d'un binôme, suivant les puissances ascendantes du plus petit de ses deux termes.

DEVELOPPEMENT nE !og(t-i-j).

202. Il est facile de déduire ce développement de celui de (i -4- x)" d'après la formule donnée par Euler, et que nous avons démontrée précédemment, savoir:

lia. -;(■ + «).

quand m tend vers T.éro, le logarithme étant pris dans la base de Neper. En eifcl, nous avons

quel que soit d'où

Faisant tendre m vers fcëro, le premier membre o pour 11- !(,+.),

et celle du second est

(6) l(.+.)=»-i + ,-...±i±jç T +...

Toi est le développement du logarithme de (i 4- x) dans la base fi. Hais il ne faut pas oublier que la (urumlo d'où il a été tiré n'étant exacte que quand .t est compris entre 4- I et — I, il sera assujetti lui-même à cette condition.

263. La formule (6) ne serait pas propre au raleul des logarithmes de tous les nombres, puisqu'elle exige que i+x ' soit compris entre o et a. Mais Euler en a déduit une autre au moyen de laquelle ces calculs sont possibles.

Changeant d'abord len-i dans (6) et retranchant les deux équations, on obtient

s-convcrgcule si x est très-petit, .intenant on pose

l'équation précédente deviendra

série d'autant plus convergente que z sera plus grand. 1

exprime la diltérence des logarithmes de deux nombres différant d'une unité. Elle fera donc connaître successivement les logarithmes de tons les nombres entiers. En partant de s si, elle donnera /a par une série déjà assez convergente, puisque ses termes sontau-dcssuusdc ceux de la progression dont la raison serait- et le premier terme ^ • La convergence augmenta rapidement avec z.

On formerait doue ainsi une Table de logarithmes dont la base serait c. Pour passer à une autre base a, il faudrait diviser ceux-ci par la. Si, par exemple, on veut construire une Table dont la base serait la niûine t|uu celle du système de numération, ce ijuî est très-important pour la facilité des calculs, il faudrait diviser les logarithmes calculés au moyeu de la formule (j) par / ioou/î+/5, dont la valeur est

/ io — î,3oa585og 290,4 ■ • ou encore les multiplier par qu'on appelle le modula, et dont la valeur est

^ = 0,434 aerf 48a....

eimsIriK'lidii drs Tablis. On a trim vr il os procédés , min pas plus sûrs, mais plus rapides, pour arriver au même résultat; ce ne serait pas ici qu'ils puniraient être exposés, et d'ailleurs ces détails spéciaux nous écarteraient un peu trop de notre objet.

26t. Nous pourrions traiter beaucoup d'autres questions importantes relatives à la science pure des nombres. Mais les applications de ces théories à la Géométrie eu augmentent tellement l'intérêt, et contribuenltellcmcnt à en

l'aire sentir l'utilité, qu'on se priverait d'un grand avantage en restant trop longtemps dans l'abstraction pure. II y a plus : beaucoup de ces théories sont dues à des questions de Géométrie, pour la solution desquelles elles ont été inventées, et la marche de l'esprit humain serait méconnue si l'on séparait trop les méthodes des problèmes qui les ont fait naître. Nous croyons donc nécessaire de passer maintenant à l'élude rapide de la Géométrie, pour arriver le plus tôt possible à l'application mutuelle de ces deux sciences, qui a tant augmenté la puissance de l'une et de l'autre.

SCIENCE DE L'ÉTENDUE