DES PREMIÈRES PROPOSITIONS DE LA GÉOMÉTRIE

267. Nous avons dil que souvent des vérités "se présentent à nous, sans être prévues ni cherchées; soit comme déductions d'aulres vérités connues, soit comme pressenties par des analogies vagues, ou pur le sentiment des situations ou des formes. C'est surtout dans les commencements de U science que ce sentiment conduit à des connaissances qui, pour la plupart des hommes, n'ont pas besoin de démonstration en règle.

Qui doutera, par exemple, que dans un plan on puisse, en un point d'une droite, en mener une autre qui ne soit pas plus inclinée sur elle d'un côté que de l'autre, et que cette seconde soit unique? <jui ne hcntira que, d'un point extérieur à la première droite, on peut eu abaisser une qui soit également inclinée des deux cotés sur elle; que celle

perpendiculaire est unique, et plus courte que toute oblique ; que les obliques vont en croissant, à mesure qu'elles s'éloignent de la perpendiculaire, et sont de infime longueur de part et d'autre, à égale distance de celle-ci ; que dam un triangle qui a deux côtés égan\-, les angles opposés le sont aussi, et réciproquement ? A quel enfant ne s'est pas présentée l'idécdc deux lignes droites, partout également distantes, et, par conséquent, ne pouvant se rencontrer, quelque loin qu'on les prolonge? et celle idée n'élai t-elle pas accompagnée invinciblement du sentiment que, par nu même point, on n'en peut mener qu'une seule qui soit dans celte situation par rapport à une droite donnée? Qui n'est pas porté à admettre la possibilité qu'un quadrilatère ait ses quatre angles droits : et qui n'en conclurait la possibilité de comparer les surfaces de di;ux jum'illcs ligures en les tlrcotnprjsant en carrés égaux?.,.

Il serait trop long d'énumérer toutes les propositions qui se présentent d 'elles-mêmes à l'esprit, et dont la vérité ne parait douteuse à personne au premier abord, mais cependant qu'on sent qu'il faut établir plus solidement, quand on a reconnu par sa propre expérience qu'une manière aussi légère d'accepter dos vérités conduisait quelquefois à des erreurs. Alors les propositions admises, ou seulement soupçonnées, ont élé prises comme des théorèmes è démontrer, et placées au point de départ de la science, en s'assujettissant à la condition que chacune d'elles ne s'appuie que sur celles qui la précèdent.

Cette condition relative à l'ordre dans lequel les propositions sont disposées dqit être observée jusqu'à la fin de l'ouvrage où une science quelcouque est exposée, alin

qu'il faut les étudier, si l'on veut fitre sûr que, pour com-

prendre chaque démonstration, on n'aura besoin d'avoir recours qu'à ce que l'on sait déjà. Et ce que nous disons là de l'exposition d'une science à partir des premiers principes, doit s'entendre de toute théorie composée de propositions dépendant les unes des autres, et fondée sur les éléments admis généralement, cl qu'il n'est plus nécessaire de discuter.

268. Dans quelques-unes des propositions que nous venons d'énoncer, on a à démontrer l'égalité de deux lignes droites. Celte question se présente ii'i's-t'ivquemnicnl, soit comme but, soit comme intermédiaire. Le moyen qu'on emploie le plus ordinairement à cet effet, consiste à faire en sorte que ces lignes soient des côtés de triangles dont on peut démontrer l'égalité, indépendamment des côtés en question, et d'après les données immédiates ou leurs conséquences. Aussi les conditions d'égalité des triangles font partis des premières questions dont on s'occupe après rétablissement des axiomes. La superposition, qui est le moyen général de s'assurer de l'égalité des quantités géométriques, fait reconnaître immédiatement qus deux triangles sont égaux quand ils ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement égauï; ou encore quand ils ont un côlé égal adjacent à deux angles respectivement égaux. Il est un troisième cas d'égalité qui ne peut se démontrer par la superposition immédiate : c'est celui où les deux triangles ont les trois cotes respectivement égaux. On ne peut alors faire coïncider qu'un seul côté avec son homologue; et comme on n'a pas de donnée sur les angles, la direction des autres côtés rtstc incertaine, et la possibilité de leur superposition n'est pas établie. On est obligé de recourir à d'autres propositions intermédiaires, et d'arriver par un détour à la démonstration de ce troisième cas, qui n'est pas d'une moindre utilité que les deux autres. Ces intermédiaires,

3ia SCIENCE DE L'ÉTEHDUB.

inattaquables dans la Géométrie d'Euclide, sont différents dans la plupart des Traités modernes, où l'on définit la ligne droite le plut court chemin d'un point à un autre.

Nous avons donné les raisons pour lesquelles nous ne regardions pas celle définition comme acceptable; et nous rejetons, par conséquent, toute démonstration fondée sur elle. Les Traités dont nous venons de parler sont donc, a notre avis, entièrement défectueux.

Mais cette importante propriété de la ligne droite, n'étant pas prise par Euclîde comme définition, a dù être démontrée on acceptée comme axiome. Heureusement ce grand géomètre n'a pas été obligé de la placer dans cette dernière catégorie, et il la déduite de propositions fondées sur les notions premières dont nous avons parlé précédemment.

L'importance qu'il y a à établir clairement et sans réticence les premières vérités déduites des axiomes, et à ne laisser aucune obscurité à l'entrée de la science, nous engage à faire connaître avec quelque détail l'ordre et l'enchaînement des propositions par lesquelles commencent les Éléments d'Euclide, et ceux qui paraissent les avoir remplacés chez nous, je veux dire les Éléments de Legendre.

PREMIERS THÉORÈMES TlKVS LES ÉLÉMENTS d'eUCLIDE.

269. Deux triangles sont égaux, quand ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun.

La démonstration se fait immédiatement par la superposition. ,

270. Dans les triangles isocèles, les angles à la base sont égaux, et, sion prolonge les côtésègaux, Us angles saus la base seront aussi égaux.

CH1P1THE PREMIER. 3t3

Soient AB, AC les deux côtés égaux du triangle ABC; BD, CE leurs prolongements [fig. i). Prenant BF= CH, les deui triangles ACF, ABH seront égaux, comme ayant un angle égal A compris entre côlés égaux chacun à chacun ;

donc IHI — CF, et les angles H et F seront aussi égaux. Il en résulte que les triangles BCH, UCF seront égaux, comme ayant un angle égal compris entre côtés respectivement égaux ; et, par conséquent, les angles BCF, CBH le seront, ainsi que BCH, CBF. Celle dernière égalité prouve la seconde partie du théorème énoncé ; et la précédente en prouve la première, parce que, les deux angles égaux qu'on y considère étant retranchés respectivement des deux angles ACF, ABH, qui sont égaux comme homologues dans les triangles égaux ACF, ABH, les restes ABC, ACB, qui sont les angles à la base du triangle ABC, seront égaux.

Telle est la démonstration d'Euclide. On s'étonnera peut-être que de l'égalité des angles de la hase avec les prolongements des cotés il n'ait pas conclu l'égalité des angles adjacents, qui sont ceux du triangle. Cela lient à ce qu'il a placé un peu plus loin les considérations relatives aux angles adjacents formés par des droites qui se rencontrent ; au reste, sa démonstration n'en est pas beaucoup allongée.

Maison peut faire une remarque plus importante sur celle démonstration. Euclide n'aurait eu besoin d'aucune construction, si, au lieu des points F, H, il avait simplement

3l4 GCIEHCE DE l'ÉTEWDLE.

considéréBci C. Lus deux triangles dont il démontrait d'abord l'égalité auraient été ABC, ACB, c'cst-n-dirclc même triangle; les angles homologues dont il concluait l'égalité, au lieu d'être ACF, ABH, auraient été ACB, ABC, c'est -àdire les angles mômes du triangle. Quant aux angles formés par les prolongements, leur égalité résulte de celle de leurs adjacents, comme on le reconnaît immédiatement parla superposition des figures, et je pense qu'Enclide aurait pu placer colle demie rc proposition dès le commencement.

271. St deux angles d'un triangle sont égaux entre eux. /es eôtès opposes à ces angles seront égaux.

Euclide emploie in lii réduction à lalisurdc. Si les deux côles ■ AU, AC, opposés aux angles égaux B et C du triangle AliC [fig. a), ne sont pas égaux, l'un sera plus grand que l'autre. SoitAB le plus grand ; prenant BD = AG,

Fis. a.

les deux triangles DBC, ACB auront un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun : car l'angle B du premier est compris entre les deux côtés BD, BC, qui sont respectivement é^nux aux eùlés CA, CB qui comprennent l'angle égal ACB dans le second. Ces deux triangles devraient donc être égaux, ce qui est absurde, puisque l'uu fait partie de l'autre : la supposition d'où l'on est parti est donc fausse, et, par conséquent, les côtés AB, AC sont

Nous ferons ici la môme remarque que pour la démons-