CHAPITRE PHEMIE1I. 3 I

tration précédente. Il eût été beaucoup plus simple de considérer encore le triangle ABC tous deux aspects différents : i° comme ayant le côté BC adjacent aux deux angles B, C ; a° comme ayant le côté égal CB adjacent aux angles C, I) respectivement égaux à B, C. Détachant par la pensée le triangle ACB, on le fera coïncider avec ABC, en appliquant son côté Cli sur l'égal BC, et alors lo côté CA coïncidera avec BA ; ils sont donc égaux.

Mais celte démonstration suppose la proposition que detix triangles sont superposais es, quand ils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun : el Euclidc l'a reportée plus loin, quand il était si facile de l'établir immédiatement, comme l'a fait Legendrc. Il ne faut pas méconnaître, cependant, qu'il a en un molif pour placer ce théorème après quelques autres : il lui a donné une plus grande extension, en considérant deux cas : celui où le côté égal est adjacent aux deux angles égaux, comme nous l'avons supposé, et celui où il est opposé n l'un de ces angles; et ce dernier ne pouvait se démontrer par une simple superposition.

272. Deux points étant donnés sur une droite, il ne peut exister d'un même côté de cette droite deux points qui, joints aux deux premiers, donnent des longueurs respectivement égales.

Euclide emploie encore ici la méthode de réduction à l'absurde. Il suppose qu'il existe deux points dont les distances aux deux autres soient respectivement égales, et discute la question dans les deux conditions où ils peuvent se trouver d'un même côté de la droite donnée. Les triangles isocèles auxquels cette hypothèse donne naissance donneraient lieu à des égalités d'angles qui amènent facilement à des absurdités; d'où il conclut l'absurdité de l'hypothèse.

3l6 SCIENCE DE L'ÉTENDUE.

Cette proposition le conduit immédiatement à la suivante, qui constitue le troisième cas d'égalité des triangles.

273. Deux triangles sont égaux, quand ils ont las trois côtés égaux chacun à chacun.

27A. Lorsque deux droites sa coupent, la somme des angles adjacents est égale A deux droits, et réciproquement : les angles opposés sont égaux.

Euclide n'a pas cru devoir démontrer que tous les angles droits, sont égaux. Il a regardé sans doute comme évident, qu'en un point d'une ligne située dans un plan donné, on n'en peut mener qu'une seule dans ce même plan, qui fasse des angles égaux avec les deux côtés de celte ligne; ou, en d'autres termes, que, dans un plau donné, on ne peut concevoir qu'une seule perpendiculaire à une droite en un de ses points. Si maintenant ou considère deux droites différentes, et surcliacune une perpendiculaire, les angles droits formés par les deux premières seront évidemment les mêmes que ceux que forment les deux autres ; car si l'on fait coïncider la point de rencontre de celîes-ci avec le point de rencontre dos premières, qu'ensuite on applique l'une sur l'autre les deux droites sur lesquelles sont élevées les perpendiculaires, ces dernières se confondront, puisqu'on ne peut, sur une même droite, élever qu'une seule perpendiculaire en un point donné : les angles droits de l'un des systèmes sont donc égaux à ceux de l'autre. Ces raisons, développées dans certains Traités avec un peu de prolixité, Euclide n'a pas jugé nécessaire du les mentionner, et il a admis comme évidente l'égalité de tous les angles formés par des droites perpendiculaires.

27Èi. Si l'on prolonge un côté d'un triangle, l'angle extérieur sera plus grand que chacun des intérieurs op-

5oi t le triangle ABC [fig. 3), CD le prolongement de BC ; joignons le point B au milieu E de AC, el prolongeons BE de EF égal k BE; les triangles CEF, ABE seront égaux,

comme ayant un angle égal en E compris entre côtés respectivement égaux; les angles A et ACF seront donc égaux : mais ce dernier est plus petit que ACD, puisque K: point Fesl dans l'angle ACD, vu que la ligne BE, prolongée indéfiniment, ne peut venir recouper la droite BD, avec laquelle cllea déjà un point commun B : donc, l'angle intérieur A, opposé an côté prolongé, est aussi plus petit que l'angle extérieur ACD : ce qu'il fallait prouver.

Quant au second angle ABC, qui est adjacent à la base, on fera une démonstration semblable, en prolongeant le côlé AC, auquel il est opposé, et considérant l'angle extérieur BCH -, l'angle ABC sera donc plus petit que BCH, et, par conséquent, que ACD, qui lui est égal comme opposé au sommet.

276. Dans tout triangle, la somme de deux angles quelconques est moindre que deux droits.

Soient les deux angles B, C du triangle ABC {j>g-4h

Fig. 4-

prolongeons CB, les deux angles adjacents ABD et ABC ont

3i8 sciF.--.cr. de l'étehdue.

pour somme deux droits, mais l'extérieur A1ÎD est plus grand que C: donc la somme des deux angles B eL C du triangle est moindre que deux droits.

277. Si deux cotes d'un triangle sont inégaux, l'angle opposé au plus grand sera le plus grand.

Soit AC>AB (Jig. 5}; prenons AD = AB, le triangle ABD sera isocèle, et, par conséquent, les angles ABD,

Ffe. s.

ADB seront égaux. Mais l'angle ABC est plus grand que ABD ; et ADB, comme extérieur au triangle BDC, est plus grand queC : donc, à plus forte raison, on a ABC> C. Ce qu'il fallait démontrer.

278. Si deux angles d'un triangle sont inégaux, le côté opposé au plus grand sera le plus grand.

Euclide emploie encore ici la méthode de réduction à l'absurde, et suppose que la contradictoire de la proposition énoncée soit vraie : c'est- à -dire que le coté opposé au plus grand des deux angles n'est pas plus grand que l'autre. 11 y aura alors deux cas possibles : ou il sera plus petit que cet autre, ou il lui sera égal. Or, s'il était plus petit, l'angle opposé serait le plus petit des deux, d'après la proposition précédente, et cela est contraire à l'hypothèse. S'il était égal, les deux angles seraient égaux, ce qui est encofe contraire à l'hypothèse. Donc, si la contradictoire était vraie, elle conduirait nécessairement à des conséquences fausses; donc elle n'est pas vraie, et, par conséquent, la proposée l'est.

Nous donnons avec quelque détail celle démonstration bien facile, pour mettre en évidence la méthode générale dont clic est une application.

270. Dans tout triangle, un côte quelconque est plus petit que la somme des deux autres.

Soit le triangle ABC (ftg, 6); BC l'un quelconque de ses côtés; prolongeons BA de AD = AC; le triangle CAD

sera isocèle, et les angles D et ACD seront égaux; il en résultera BCD>D,et, par conséquent, dans le iriangle BCD, le côté IÎD sera plus grand <|ue liC, comme élanl opposé h un plus grand angle. Mais BD = BA -|- AC. Donc la somme des deux -côtés BA, AC du triangle ABC est plus grande que le troisième : ce qu'on se proposait de démontrer.