Postuiatum d'Enclide. — Nous venons de dé

point, on ne peut mener qu'une seule droite parallèle, à une droite donnée. C'est en cela que consiste réellement ce célèbre postuiatum.

286. Une droite qui rencontre deux parallèles fait avec elles des angles intérieurs dont la somme est égale à

SCIEHCK DE l'ÉTEJIDUE.

deux droits; ou, en d'autres termes, les angles alternes sont égaux.

Eu rlîet, si celle somme était différente du deux droits, les lignes se reticon lierai eut, d'après le postulatum. Or, c'est contre l'hypothèse. Doue elle n'est pas différente de deux droits.

287. La somme des trois angles de tout triangle est égale à deux droits.

Soit un triangle quelconque ABC (fig. 10) ; prolongeons un de ses côtés BC, et menons dans l'angle ACD, qui est

plus grand que A, une ligoe CE faisant un angle ACF, égal à A ; elle sera parallrlr » l(A, d'après une proposition précédente. Donc les angles ECD. ABC seront égaux. Ce qui prouve d'abord que l'angle extérieur est toujours égal à la somme des deux intérieurs opposés; en second lieu, en ajoutant le troisième angle ACII, la somme des trois angles du triangle sera égale à ACD + ACB ou à deux angles droits. c. q. r. d.

Cette proposition conduit immédiatement à la somme des angles d'un polygone, en le décomposant en triangles.

288. Dans tout parallélogramme les cotés opposes sont égaux, les angles opposés sont égaux; les diagonales le partagent chacune en deux triangles égaux, et se partagent mutuellement en deux parties égales.

289. Les parallélogrammes construits sur des bases égales etentre les mêmes parallèles sont équivalents.

Fig. io.

CHAP1TEE PREMIER . 3i3

Et les triangles seront aussi équivalents dans les mêmes conditions, parce qu'ils seront les moitiés de parallélogrammes équivalents.

Telles sont les principales propositions qui composent le premier livre U'Euclide. On peut dire de la plupart d'entre elles qu'on en sent l'exactitude aussitôt qu'elles sont énoncées, et qu'elles ont dise présenter d'elles-mêmes à ceux qui se Sont occupés de figures tracées sur un plan. Mais la démonstration rigoureuse était nécessaire, et, sous ce rapport, le livre des Éléments ne laisse rien à désirer. Il a servi de modèle à tous ceux qui ont écrit sur celte matière, et sera toujours considéré comme un des plus beaux monuments de l'antiquité.

Comparons-le maintenant à l'ouvrage qui, depuis près d'un siècle, est la base de renseignement de la Géométrie en France; et voyons si, sous le rapport des notions premières et de leurs conséquences immédiates, ii y a eu progrès d'Euclide à Lcgcndrc.

DES PREMIÈRES F JLOPOS1TIOMS DE LÀ OÉOMETRIE

290. Legeudre définit la ligne droite le plus court chemin d , un point à un autre. 11 admet qu'on n'en peut mener qu'une seule entre deux points donnés, mais il laisse incertain si elle peut avoir plusieurs prolongements ; d'autres auteurs estimes admettent l'idée plus complète, qoe par les deux mêmes points il ne peut passer qu'une seule ligne droite indéfinie.

Nous ne reproduirons pas les raisons qui nous ont fait rejeter cette définition, et nous devons, en conséquence, regarder les principes de la Géométrie comme mal établis par Legendre.

3l4 SCIEKCE DE l'ÉTEHDIE.

L'ordri! et ta démonstration des premiers théorèmes ne sont pas les mêmes que dans Euclide, qui ne pouvait admettre sans le prouver qu'un côté d'un triangle est plus pelit que la somme dus deux autres. Cetle proposition, qui est pour Lcgcndre une conséquence de sa définition de la ligne droite, lui permet de donner un autre tour aux démonstrations, sans qu'il en résulte cependant aucune réelle simplification.

La première chose qu'il cherche à démontrer, et qu'Euclide admettait comme évidente, est l'égalité de tous les angles droits. Les raisonnements y sont un peu embarrassés et sont suivis avec quelque peine par les élèves, auxquels ces formes ne sont pas encore familières; mais on peut y faire un reproche plus sérieux, et les premières vérités doivent être établies avec tant de rigueur et de clarté, que nous ne croyons pas pouvoir nous dispenser d'en faire sentir le défaut.

Il considère deux droites CD, GH, respectivement perpendiculaires sur les lignes LM, L'M' (jîg. 1 1 et i a), et il se propose de démontrer que les angles droits formés en C

dit-il, prenez les quatre distances égales CA, CB, GE, GF ;

ta distance AB sera égale à la distance EF, et on pourra placer la* ligne EF sur AB, de manière que le point E tombe en A et le point F en B. Ces deux lignes ainsi posées coïncideront complètement l'une avec l'autre; car, sans cela, il y aurait deux lignes droites de A en B, ce qui

est impossible : donc le point G, milieu de EF, tombera sur le point C, milieu do AB.

Il semble, au premier abord, qu'il n'y ait aucune difficulté à faire à ces cou si rue lions et aux conséquences qui eu ont été tirées ; mais, avec un peu de réflexion, on reconnaîtra que celui qui n'admet pas qu'une droile ne puisse avoirqu'unseul prolongement indéfini ne pourrait admettre les coïncidences telles qu'elles viennent d'être indiquées.

En effet, il prend quatre longueurs égales, c'est-à-dire quatre longueurs qui pourraient coïncider deux à deux. Cela élant accepté, AC et EG peuvent bien être appliquées l'une sur l'autre, mais alors il reste douteux si le prolongement GF de EG coïncidera avec le prolongement CB de AC : dès lors, rien ne prouve que le point F coïncidera avec B, cl la démonstration ne subsiste plus.

291. La seconde proposition consiste en ce que toute droite qui en rencontre une aulre fait avec elle deux angles adjacents dont la somme est égale à deux angles droits. Elle est suivie de quelques corollaires sans difficulté.

292. La troisième proposition consiste en ce que deux droites indéfinies dans les deux sens, qui ont deux points communs, coïncident dans toute leur étendue.

Nous avons dît précédemment que Legcndre admet bien que, d'un point à un autre, on ne peut mener qu'une ligne droite, mais non que des droites qui coïncident dans une certaine étendue ne puissent pas se séparer au delà. Il peut paraître étrange qu'il n'ait pas admis comme aussi évidente la coïncidence au delà qu'en deçà des deux points communs. Mais le désir de demander le moins de concessions possible ne fait-il pas naitre des embarras d'un aulre genre? 11 admet la notion du plan, cl il suppose que toutes les lignes qu'il trace soient dans un même plan. Il a défini

3 a6 SCIENCE de l'étendue.

le plan : une surface telle, que si l'on joint deux de ses points par une ligue droite, et qu'on la prolonge indéfiniment dans les deux sens, tous ses points seront sur cette surface : et c'est sur celte définition qu'il se fonde au commencement de son cinquième livre, pour prouver qu'une droite ne peut Éire en partie dans un plan ei en partie en dehors.

Or, si l'idée qu'on a de la ligne droite autorise à penser que des droites qui ont deux points communs ne coïncident pas au-delà de ces points, comment se figurer une surface telle, qu'en y prrn.uil deux points quelconques, et faisan I passer par ces points une droite pouvant donner lieu à uu nombre indéfini de prolongements, tous ces prolongemenls seraient sur cette même surface, n'importe où Ton prendrait sur elle ces deux points. Personne n'accepterait la notion d'une surface d'après une telle définition. Et si ou ne la repousse pas, c'est qu'on admet auparavant que, par deux points donnés, il ne peut passer deux droites indéfinies dilférenies. Or, la démonstration que I.egendrc cherche à donner de cette proposition suppose la notion du plan : il

Ces raisons nous font conclure que I.egcndrc aurait mieux fait de donner plus d'extension à son postulalum, et d'admettre que deux ligues droites, qui ont deux points communs, coïncident non-seulement entre ces deux points, mais dans toute leur étendue.

2!>3. Legcndrc a beaucoup varie son exposition de la théorie des parallèles, cherchant toujours à se passer du postulation d'Euclide. Mais ces différentes tentatives ont été sans succès; et, jusqu'ici, ou n'a rien trouvé de mieus que la théorie du géomètre grec.

menis de la Géométrie de Legcndrc; cela suffit, je pense,