Si l'on multipliait les deux lignes données, par un

même nombre, lous les restes te scrairtit aussi, cl par conséquent la plus grande commune mesure ellc-uième.

326. L'égalité et l'addition des angles ayant été définies, on peut se proposer de les mesurer, c'est-à-dire de trouver leur rapport à celui qui a été choisi pour unilé. Comme il n'y a aucune difficulté à faire, avec une ligne donnée, un angle égal à un angle donné, on trouvera sans peine combien de fois l'angle donné contient l'unité, et combien le reste contient de .subdivisions convenues de cetle unité ; la mesure des angles n'offre donc en théorie aucune difficulté de plus que celle des lignes droites.

Mais il n'en est pas de même en pratique. Comme il résulterait trop d'erreurs de la construction de tous ces angles, on emploie des instruments où sont marquées les plus petites subdivisions de l'angle droit, qui est ordinairement pris pour unilé ; le sommet de tous les angles est le même, et, pour mesurer un angle donné quelconque, il suffirait de placer son sommet au sommet commun, un de ses côtés sur l'origine commune, et de reconnaître sur quelle subdivision tombe le second coté, ou, ec qui arrivera le plus ordinairement, entre quellessubdivisions consécutives il tombe. Or, les nombres correspondants à chaque subdivision angulaire ne peuvent Être commodément écrits sur les cotés mêmes de ces angles, et il est plus convenable que la graduation se fasse sur une ligue continue qui coupe tous ces côtés, et permette déjuger plus facilement la portion de la dernière subdivision que l'instrument ne peut évaluer. Or, de toutes les lignes, la plus avantageuse est le cercle ayant son centre au sommet commun des angles. A des angles égaux au centre, correspondront des arcs égaux compris

348 aciEHCB ni! l'étekdve.

entre leurs côtés; l'instrument sera donc beaucoup plus facile li graduer que si l'on prenait toule autre courbe. Le i[uan de cercle correspondra à l'angle droit; le quatre-vingtdixième de l'angle droit, on l'angle de i degré, correspondra au quatre-vingt-dixième du quart de cercle, qu'on appellera l'ara d'un degré, et ainsi de suite; de sorte que la mesure d'un angle, en prenant l'angle droit pour unité, sera la même que la mesure de l'arc compris entre ses côtés en prenant pour unité le quart de cercle, et supposant toujours le sommet de l'angle au centre du cercle.

C'est là ce qu'on entend quand on dit qu'un angle au centre a pour mesure l'arc compris entre ses côtés.

.327. Les recherches théoriques conduisent quelquefois à la comparaison d'angles dont le sommet n'est pas au centre

égard des théorèmes qu'il est utile de connaître. Comme les

rapport que les arcs qu'ils interceptent, il suffit de déterminer quel are intercepterait entre ses côtés un angle dont le sommet serait situé en un point quelconque, et qu'on transporterait sans changer sa grandeur, de manière que son sommet vint coïncider aïcc le centre. Ainsi l'angle formé par deux cordes, ou une corde et une tangente, transporté au centre, intercepterait entre ses côtés la moitié de l'arc qu'il intercepte dans la position donnée; pour l'évaluer, il ne faut donc prendre que la moitié de cet arc; ce que l'on exprime en disant qu'un angle ainsi placé a pour mesure la moitié de l'arc compris entre ses côtés.

Il est encore bon de savoir comment on connaîtrait l'arc intercepté entre les côtés d'un angle dont le sommet serait transporté au centre, lorsque ce sommet est placé en dedans ou en dehors du cercle. Cet are dépend d'une manière trèssimple de ceux qui sont déterminés sur la figure par la ren-

contre, que l'on suppose avoir lieu, des deux côtes de l'angle a vue le cercle. Ces détails tic peuvent être donnés que dans

Remarque. — Nous avons comparé les angles à l'angle droit, qui se présente plus naturellement que lotit autre. Mais nous aurions pu prendre un angle quelconque pour unité, nous aurions éle conduits ainsi à chercher le rapport de deux angles quelconques, et nous aurions établi, par les mûmes considérations, la proposition suivante : Le rapport île deux angles est le même que celui tics

arcs décrits de leurs s

ommets comme centres, avet

rayon, ni intercrpii-!.

'Pour l'établir av.

il faut se

rappeler la défiiiitio

a précédemment donnée de

rapports

égaux. Or, si l'on ,

lécompose l'un des angles ■

en parties

même nombre d'arcs

iendra au-

tant de subdivisions

reste, que

l'arc correspondant e

n contiendra du premier ar

sera ainsi quelque petites que soient ces subdivisions. Or, c'est précisément cette condition qui, comme nous l'avons exposé généralement, constitue 1 égalité de deux rapports commensurables ou incommensurables. Le rapport des deux angles est donc généralement égal à celui des arcs interceptés