CHAPITRE II

MESURE DES LIGNES DROITES, DES ANGLES ET DES SURFACES DES FIGURES RECTII.IGNES. - SIMILITUDE.

^22. Nous avons fait voir, au commencement Je la première Partie, comment on pouvait exprimer par des nombres toutes les quantités pour lesquelles on a défini exactement l'égalité et l'addition. Ces nombres se nomment les rapports de ces quantités à celle qui il été choisie pour unité, nu la mesure de ces quantités. Ainsi, la théorie delà

jet que de faire connaître les procédés généraux propres à déterminer le rapport de deux grandeurs de cette espèce; l'expression de ces grandeurs en nombres, en sera la conséquence immédiate.

UltUII DES LIGNES UROfTES.

32H. L'égalité des lignes droites ayant été définie, ainsi que leur addition, et par suite leur soustraction, on peut s'occuper <Ie leur mesure.

Les lignes droites pouvant toujours s'appliquer les unes sur les autres, il n'y a aucune difficulté à concevoir sur une droite indéfinie une portion égale à une droite donnée; ce que l'on exprime quelquefois en disant qu'elle a même longueur, en se gardant bien toutefois de définir la ion- Or, nous avons dit que pour évaluer une quantité au 'moyen d'une unité de inênic espèce, il fallait d'abord en

IF1THK 11. 345

tler l'unité amant de fuis

que possible ; que s'il y avait un

reste, il fallailde mémec

n olcr autant de J'ois une po-siiile

une subdivision déterminée de l'unité, et ainsi de suite;

nous renvoyons à l'en po si

Lion que nous avons faite de celte

méthode, et des divers cas.

mxquels elle pouvait donner lieu.

Et comme il n'y a aucu

ne difficulté à prendre sur une

droite une longueur égal.

opération s'exécutera imn

icdiatcment, et nous n'avons rien

de plus à dire sur la mesu

redes lignes droites, ou leur éva-

D'après ce que nous av

ons dit en général, celle mesure

peut être exprimée par ui

1 nombre entier, par un nombre

fractionnaire ou par un nombre incommensurable; mais il

y a quelques remarques à faire sur ce dernier cas.

Si les deux lignes dont

ou cherche le rapport sont don-

nées matériellement, c'esi

ricllcs que l'on procédera. Mais quelle que soit la perfection des instruments employés, il y aura toujours des limites au-dessous desquelles les grandeurs ne seront plus perceptibles pournous;de sorte que, mémo sans tenir complexes imperfections des iustriinienls el des lignes à comparer, les appréciations seraient limitées par nos sens. On arrivera donc toujours par les procédés graphiques ;'i une évaluation qu'on regardera comme exacte, lorsque le reste sera imperceptible; et deux lignes quelconques paraîtront toujours avoir une commune mesure, c'est-à-dire une longueur contenue exactement dans chacune d'elles. Et si l'une est prise pour uuilé, la mesure de l'autre sera donnée par un nombre fractionnaire.

.Mais si les deux lignes ne sont pas données graphiquement, et qu'elles dépendent l'une de l'autre par des conditions exactement définies, on peut se proposer de trouver leur rapport, soit exact, soit approché, suivant qu'elles

343 SCtESCE DE l'ÉTENDCE.

On peut, par exemple, chercher le rapport de la diagonale d'un carré à son côté ; le rapport entre le rayon d'un cercle et le côté d'un polygone régulier inscrit ou circonscrit, d'un nombre donné de côtés, etc., etc., etc.

32i. De la plus grande commune mesure. — Dans l'une ou l'autre stipposilion, si l'on voulait trouver la plus

sécs, ce qui donnerait leur rapport exprimé par les plus petits nombres entiers, ou procéderait comme pour la recherche du plus grand nombre contenu exactement dans deux nombres donnes. On ûtera Je la plus grande la plus petite autant de fuis que pos- ible: s il ne reste rien, celle-ci sera la ligne cherchée; et s'il y a un reste, la plus grande commune mesure de ce reste et de la plus petite, sera la niètne ijuc celle de* deux ligues proposées. La question se présentant la même en [re i-cs detiv nouvelles lignes, moindres que les premières, on continuera de même jusqu'à ce (jue l'on arrive à un reste nul, ou que l'on s'assure qu'il n'existe pas de commune mesure.

Dans le cas de données graphiques, l'opération s'arrêtera toujours, faute de pouvoir apprécier des quantités qui dépassent une certaine limite de petitesse. Dans le cas de dépendance exactement définie, il pourra arriver, comme pour la diagonale du carré, que la marche même de l'opération annonce l'absence de commune mesure; mais le plus ordinairement, c'est par des considérations tenant à la science des nombres qu'on y parviendra, cl ce n'est pas en cherchant la plus grande commune mesure par les procédés que nous venons d'indiquer.

Il est presque inutile de faire remarquer que ce que nous venons de dire à propos des lignes droiles, s'applique à deux quantités d'une même espèce quelconque.