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petites que l'on voudra par l'augmentation indéfinie du nombre des subdivisions.

Les surfaces tes plus faciles à évaluer avec cetle unité sont les rectangles, et c'est par là que nous allons commencer. La première proposition :< établir à rel effet est la sui-

329. Deux rectangles qui ont un côté égal sont dans le même rapport que les deux autres cotés.

La démonstration de ce tbéoicme se fera comme dans le cas lies angles et des arcs. Dans l'un des rectangles on considérera le roté non l'oinnmn tjnc nous appellerons sa base, et on le partagera eu un nombre quelconque de parties égales; par tous les points de division on élèvera des perpendiculaires qui diviseront le rectangle en un même nombre de parties égales que la base. On prendra sur la base du second des parties égales aux subdivisions de la première, ut on élévern soiiibkblemciiL des perpendiculaires qui détermineront des rectangles égaux à ceux dans lesquels le premier a été décomposé et dont le nombre sera le même que celui des parties de la base.

comme subdivision, et le nombre des rectangles égaux contenus exactement dans les deux rectangles étant le même que celui des subdivisions exactes des deux bases, le rapport des deux rectangles sera le même que le rapport de leurs bases, puisque ce sera le rapport des Jeux mômes nombres.

Si les bases sont incommensurables, elles seront encore dans le même rapport que les rectangles, puisqu'il vient d'être démontré que si l'on partageait la base et la surface de l'un, eu un nombre quelconque de parties égales, la base el la surface du second contiendraient le même nombre entier de ces subdivisions respectives.

!Î5'J SCI EH CE DE l'ÉTEHDUB.

330. Mesure. de la surface d'un rectangle. — Si sur la hauteur de ce rectangle, que nous désignerons par A, on porte uni; longueur égale au côté du carré pris pour unité, et que par son extrémité on mène une parallèle à la hase, on formera un rectangle lî dont le rapport à l'unilê de surface sera exprimé, d'après la proposition précédente, par le rapport, quel qu'il soit, de la base du rectangle au coté du carré ; rapport qui sera le nombre même qui mesurera eette base en prenant pour unité de longueur le côté du carré, ce que nous ferons constamment. Le rectangle 1( sera dont: égal à l'unité de surface multipliée par ce nombre. Si maintenant nom comparons A à B, leur base étant la même, leur rapport sera égal à celui de leurs hauteurs, et sera par con-

surfaee de A s'obtiendra donc en multipliant par ce dernier nombre celui qui mesure B, qui est le même que celui qui mesure la base. D'où se déduit celte proposition générale : Le rapport d'un rectangle quelconque au carré construit sur

qui mesurent sa base et sa hauteur.

C'est ce que l'on exprime d'une manière abrégée eu di-

Tout rectangle a pour mesura le produit de Sa baie par su hauteur.

331 . Deux parallélogrammes île même base et même hauteur sont équivalents.

On appelle base d'un parallélogramme l'un quelconque de ses côtés, et hauteur correspond au le, la perpendiculaire comprise entre celle base et le cùlé parallèle. D'après cela, si l'on place les deux parallélogrammes de manière que les bases égales coïncident, les côlés opposés seront sur une même parallèle à ces bases. Soient ABCD, EBCF les deux

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parallélogrammes [fig. 26), la 6gure EBCD pourra êlre considérée comme un compose de ABCD et du triangle ABE,

ou de EBCF el du triangle FCD, égal à ABE, comme il est facile de le démontrer. Les deux parallélogrammes sont donc équivalents, puisqu'on lus obtient en retranchant des surfaces égales de surfaces égales.

332. Un triangle est équivalent à la moitié de tout parallélogramme de même base et même hauteur.

On nomme base d'un triangle un quelconque de ses c6tés, et hauteur correspondante la dislance du sommet opposé a

Or, en menant par les extrémités d'un des côtés, des parallèles aux deux autres, on forme un parallélogramme qui a même base et même hauteur que le triangle, et dont celui-ci est la moitié. Et comme tous les parallélogrammes de même base el même hauteur soni équivalents, le triangle est équivalent à la moitié de lout parallélogramme de même base et même hauteur.

Mesure du parallélogramme. — Puisque tout parallélogramme est équivalent au rectangle qui a même base et même hauteur, el que le rectangle a pour mesure le produit de ces deux lignes, entendu comme nous l'avons expliqué, on pourra énoncer la proposition suivante, entendue dans le même sens,

Tout parallélogramme a pour mesure le produit de Sa bate par sa hauteur.

Fig. rf.

Mesure du triangle. — Tout triangle étant équivalent à la moitié ilu m; i an gît de même base et de même hauteur, il en résulte que :

Tout triangle a pour mesure la moitié du produit dp sa base par sa hauteur.

Mesure d'un polygone quelconque. — Quel que soit le nombre des roiés d un pol vl;ijiii'. mi peul le décomposer en triangles. Si l'on prend pour sommet commun un point à

côtés du polygone. Si l'on prend un sommet du polygone même, les diagonales qui en partiraient partageraient le polygone en triangles dont le nombre serait moindre de deux unités que relui des <-c*jtés du polygone.

Cela fait, on aura la mesure de la surface du polygone en ajoutant celles de tous ces triangles. Kt c'est ainsi que la mesure de toutes les figures planes terminées par des lignes droites, est ramenée à celle du rectangle, qui se fonde immédiatement sur la considération de l'égalité.

333. La proposition fondamentale de cette théorie consiste en ce que, si deux droites sont coupées par des lignes parallèles entre elles, les parties interceptées sont proportionnelles.

Euclide, et d'après lui Legcndre, en ramènent la démonstration à la. comparaison des surfaces des triangles. Ce moyen n'étant pas tiré de la nature mfime de la question, nous préférerions celui que d'autres géomètres ont employé, etqui est fondé sur cette considération bien simple que, si l'on a un nombre quelconque de parallèles menées par des points équidistants entre eux, pris sur uue des deux

lignes, les parties interceptées sur la seconde seront égales entre elles. De là résulte, par le procédé uniforme de démonstration employé ri-dessus pour les angles et pour les rectangles de même hauteur, que les parties de l'une des deux droites, comprises entre des parallèles quelconques, out le même rapport que les parties correspondantes de l'autre, qu'il y ait ou non une mesure commune entre elles.

334. La similitude des figures planes se définit ordinairement par l'égalité des angles et la proportionnalité des cotés homologues : dans les triangles seulement uuede ce:, conditions entrai ne l'autre.

Lorsque l'on considère un système queleonque de points, séparés les uns des autres, ou réunis parties droites, on dit qu'un second système lui serra semblable, lorsqu'en joignant des points correspondants quelconques par des droites, leur rapport est toujours le même; et, par suite, les polygones formés de pan et d'autre en joignant des points homologues sont semblables. Lorsque ces conditions entre les deux systèmes ont lieu pour un assez grand nombre de points pour que le second système soit déterminé quand le premier le sera, ces mêmes eonditions le seront pour tous les autres points ou ligues Immulogues. Ainsi, il y aura le même rapport entre les perpendiculaires abaissées de points homologues sur des lignes homologues, entre les tangentes menées de points homologues à des cercles décrits de points homologues comme centres, avec des rayons dans le même rapport, etc., etc.

Xiti. Les triangles semblables sont des intermédiaire! au-si fréquemment employés pour démontrer des propor lions cotre des lignes, que les triangle* égaus le sont pour démontrer l'égalité de lignes ou d'angles. C'est par de* tri. Ulules «eniblahli -■. qu'en démon :re le* pin port inn* dépendantes des sécantes ou tangentes menée» d'un même point

à un cercle donné; celles qui ont lieu entre les côtés d'un triangle rectangle, la perpendiculaire abaissée de son sommet sur l'hypoténuse, et les segments qu'elle y détermine, elc. Dans la résolution des problèmes, ils servent fréquemment d'intermédiaires pour ramener les constructions les unes aux autres.

336. La comparaison des figures semblables conduit à ce résultai remarquable, que leurs surfaces sont dans le même rapport que les carrés construits sur deux lignes homologues. Cette proposition se démontre d'abord pour les triangles, et s'étend facilement à des (lolygones semblables quelconques. La démonstration un est très-simple et facile à retenir quand on suit la marche analytique; clic offre, au contraire, quelque embarras aux élèves quand on affecte d'employer la marche synthétique, comme le fait toujours Legendre. II ne sera peut-être pas inutile de prendre cet exemple si peu compliqué, pour montrer l'avantage de l'analyse sur la synthèse : ou comprendra combien il serait plus grand dans le cas où le nombre des intermédiaires serait plus considérable.

Voici d'abord la démonstration littéralement copiée dans le Traité de ce célèbre géomètre.

Soit l'angle A=D et l'angle B=E (Jig. aj et a8); Fig. ■>■) ot îB.

d'abord, à cause des angles égaux A et D, on aura, par la proposition précédente,