CHAPITRE II

on a d'ailleurs, à cause de la similitude des triangles,

aB;de::aC:df,

et si l'on multiplie cette proportion terme à terme par la proportion identique

aC:DF::aC:DF,

il en résultera

AB X AC : DE X DF : : Âc' ; DF .

Donc

abc : def : ; ac' : df' .

Dans cette démonstration, on évite en quelque sorte de faire prévoir l'utilité des diverses propositions par lesquelles on passe ; et ce n'est que quand on est arrivé au but, qu'on en peut saisir la liaison. Les commençants ne l'apprennent et ne la retiennent que difficilement. Voici comment on aurait pu procéder par la méthode analytique. Pour démontrer que les deus triangles semblables ABC, DEF sont entre eux comme les carrés de deux côtés homologues, par «temple AB et DE, il suffit de démontrer que les mesures de ces triangles sont dans ce rapport; ou que les produits de leurs bases par leurs hauteurs, qui sont les doubles de ces mesures, sont dans ce rapport. Soient CH, FI ces hauteurs; la démonstration du théorème en question est donc ramenée à celle de la proportion suivante :

AB x CH : de x yi : : àb' : de',

qui, en supprimant les facteurs communs, soit aux antécédents, soit aux conséquents, devient

ch : Fi ; : ab : de,

Qr cette proportion est vraie, puisque dans deux trianglci

358 SCIENCE de l'étekdde.

semblables les bailleurs sont entre elles comme les cotes.

Donc la proposition éuoucéc cs( vraie.

L'avantage de celle méthode est trop évident pour qu'il soit besoin de le faire ressortir.

337. Lorsque deux systèmes semblables; d'après la définition précédente, sont placés do manière qui' deux ligues homologues soient parallèles, toutes les autres le sont respectivement; toutes les lignes qui joignent deux points homologues passent par un même point qu'on nomme centre de similitude ; cl le rapport des distances de ce point à deux points homologues quelconques est constant, et égal à celui do deux droites homologues quelconques du système ; on le nomme le rapport de similitude des deux systèmes. Le premier système étant fixé, ou peut évidemment placer le second île telle sorte que le centre de similitude urcnpc une position quelconque dans le plan des deux systèmes.

Après avoir reconnu celte propriété des systèmes semblables, on a peusé qu'il étail plus convenable de la prendre pour la définition même de la similitude. Elle entraîne la première, et s'applique plus simplement au cas des courbes et des surfaces courbes. Nous adopterons donc la définition suivante de la similitude :

Deux systèmes de points sont dits semblables, lorsqu'ils peuvent être places de manière que toutes les droites qui joignent deux points homologues passent par un même point, et que le nippoit des distanr-vs de ce point à deux homologues quelconques soit constant.

11 résulte de là, en nous bornant aux points situés dans un même plan, que si des points sont en ligne droite dans l'un des systèmes, les homologues y seront aussi; que s'ils

sont sur un même cercle dans l'un, les homologues seront aussi sur un cercle. Ainsi le système semblable à un cercle, est un autre cercle; et leur centre de similitude s'obtiendra en joignant les entremîtes de deux rayons parallèles quelconques, et prolongeant celle droite jusqu'à la rencontre de la ligne des centres ou d'une seconde droite menée par les extrémités de deux autres rayons parallèles ; le rapport de similitude sera celui des rayons. Il est évident que le centre de similitude est le point où les tangentes communes rencontrent la ligne des centres. Ce point jouit encore d'une propriété qu'il est bon de connaître, c'est que le produit des distances de ee point à deux points non homologues situés sur une sécauLe quelconque menée par re point, est constant.

338. Si, au lieu de porter les longueurs dans le même sens à partir du centre de similitude, on les portait en sens contraire, le second système ne serait plus placé de la

dans le même sens que pour le premier. On voit, eu etTet, qu'en faisant tourner de deux angles droits le second système autour du centre de similitude que nous appellerons inverse, il coïnciderait avec celui qu'on aurait obtenu en portant les distances dans le même sens. Les lignes lioniologues sonl toujours parallèles, mais en sens inverse, puisqu'elles se trouvent dans le même sens après une detnïrévoluliou. On aurait le centre de similitude inverse de deux cercles, par la rencontre de la ligne des centres et de celle qui joindrait les extrémités de deux rayons paral- Jèles et de sens contraires. Nous aurons quelque chose à ajouter à ces considérations générales sur la similitude, lorsque nous considérerons les points situés d'une manière quelconque dans l'espace. .