CHAPITRE V

proposition, que des surface» très- peu différentes de celles des deux cercles, sont comme le» carres de leurs rayons.

Cet aperçu vague indique la route à suivre; mais il y avait de grands efforts à faire pour arriver au résultat par des raisonnements rigoureux. Nous expliquerons avec quelque détail la solution de celte question, donnée par Euclide, parce qu'elle offre le premier exemple d'une grande conception, que les modernes ont adoptée en en simplifiant l'application, sans la changer au fond, et sans y avoir rien introduit qui eût échappé a la capacité des anciens géomètres.

Celle conception consiste à regarder les quantités que l'on veut comparer comme limites de quantités variables d'espèce plus simple, et qui se prêtent plus facilement aux comparaisons. La relation entre ces nouvelles quantités est plus facile à trouver; et sa recherche constitue une question plus simple, à laquelle il reste à ramener la pre-

Cctte méthode se compose donc de trois parties distinctes :

i° Choisir les quantité* d'espèce plus simple dont les proposées soient les limites; ,

a" Chercher la relation entre ces quantité» auxiliaires;

3° Passer de celle relation à celledes quantités proposées.

Noua allons exposer la manière dont Euclide remplît ces trois objets stici cssifs dans la question de la comparaison des cercles. Cela suffira pour faire comprendre l'esprit général delà méthode, dont nous donnerons bien d'autres exemples tirés des écrits des anciens; et nous montrerons ensuite comment les modernes l'ont simplifiée.

362. La surface d'un cercle est ta limite de celle de polygones réguliers inscrits.

Nous rappellerons que nous avons appelé limite d'une

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grandeur variable une grandeur constante telle, que 1s différence entre elle et la variable puisse devenir et rester moindre que toute grandeur désignée.

Or Eucïide a démontré que si l'on considère un polygone régulier inscrit dans un cercle, eL que l'on double indéfiniment le nombre de ses côtés, l'aire du polygone, qui augmente continuellement, peut finir par différer de celle du cercle d'une quantité moindre que toute surface désignée; d'où il suit que cette aire est une variable dont la différence arec l'aire constante du cercle peut devenir et rester moindre que toute quantité désignée, et que, par conséquent, l'aire du cercle en est la limite.

Eucïide part du carré inscrit et passe successivement aux polygones de huit côtés, de seize côtés, de trente-deux, et ainsi de suite. L'aire de chacun de ces polygones diffère moins de celle du cercle que n'en différait celle du précédent et cette différence se réduit toujours de plus de moitié en passant d'un quelconque de ces polygones au suivant, parce que les triangles qne l'on ajoute dans chaque segment sont plus de la moitié de ce segment, puisqu'ils sont eiactement la moitié du rectangle qui aurait la base et la hauteur de ce segment, et lui serait évidemment supérieur. Or il a démontré antérieurement que si d'une grandeur quelconque on ôtc plus de la moitié, que du reste on Aie plus que sa moitié, et ainsi de suite indéfini ment, les restes finirontpar devenir moindres que toute grandeur désignée. 11 en résulte donc qu'en partant de n'importe quel polygone régulier inscrit dans un cercle, sa différence avec le cercle est une grandeur fixe dont on oie plus de la moitié en doublant une première fois le nombre des côtés. Il en sera de même du nouveau reste, en doublant le nombre des côtés du nouveau polygone, et ainsi de suite. Ces polygones successifs diffèrent donc du cercle de quantités qui peuvent devenir et rester moindres que toute quantité don-

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née. Lu cercle en est donc la limite. On voil qu'il n'eu nullement nécessaire de commencer comme Euclide par la carré inscrit. II y voyait probablement l'avantage de l'uniformité de raisonnement depuis lu pie mi er polygone, qui était lui-même plus grand que la moitié du cercle entier.

11 est bon de remarquer qu'on aurait pu également considérer les polygones circonscrits, et partir d'un polygone régulier quelconque. L'excès de sa surface sur celle du cercle serait diminué de plus que sa moitié, en passant au polygone d'un nombre de eûtes double; de sorte qu'en continuant indéfiniment cette opération, l'excès sur le cercle peut devenir moindre que toute quantité donnée, et, par conséquent, le cercle est la limite des polygones réguliers

Dans les Traités modernes cette propriété du eercle sa démontre ordinairement par la considération simultanée des polygones inscrits et circonscrits. En les prenant semblables, on démontre facilement que leur différence tend vers zéro, et qu'il en est de même, par conséquent, de la différence de chacun de ces polygones au cercle, qui est compris entre eux.

Si l'on ne veut pas faire servir les polygones inscrits et circonscrits à donner par leur différence une limite supérieure à leur différence au cercle, mais seulement à démontrer que la surface du cercle est la limite de colle de polygones réguliers, la démonstration d'Euclide serai tpeut- Ôtre préférable.

363. Les surfaces de deux cercles sont entre elles comme les carrés des rayons.

Euclide ayant démontré que deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont comme les carrés des rayons des cercles ci ['conscrits, et que les polygones inscrits dans un cercle peuvent en différer de moins que toute gran- »5.

deur désignée, apercevait sans aucun doute que les cercles eux-mêmes sont comme les carrés de leurs rayons ; mais il était nécessaire d'en donner une démonstration rigoureuse, surtout dans un temps où l'on trouvait des sophistes qui niaient des choses bien plus évidentes, et appuyaient leurs opinions des raisonnements les plus subtils et les plus

C'est par la méthode de réduction à l'absurde qu'il obtenait celte rigueur ; et voici comment il procédait :

Si le rapport des carrés des rayons lî, R' n'est pas égal à celui des surfaces S, S' des deux cercles, il sera plus grand ou plus petit. Dans le premier cas, il serait égal au rapport de S à une surface plus petite que S'; dans le second il aérait égal au rapport d'une surface plus petite que S à la surface S'. On est donc ramené à démontrer que le rapport des carrés des rayons ne peut être égal à celui de l'un des deux cercles à une surface moindre que l'autre.

Pour cela, supposons que l'on ait

S étant moindre que S, nous allons voir que cela conduit à une absurdité.

En effet; concevons dans les deux cercles deux polygones réguliers inscrits, d'un même nombre de côtés. Soient P, P' leurs surfaces-, on aura

Or, on pourra supposer le nombre des côtés de ces polygones assez grand pour que leurs surfaces différent aussi peu qu'on voudra de celles des cercles, et que, par conséquent, P' surpasse 2, qui est une quantité fixe moindre que S'; et alors les deux proportions sont incompatibles, puisqu'elles conduisent à ia suivante

qui est fausse, puisqu'on a

S>P et £<P'.

L'hypothèse d'où l'on est parti est donc fausse, et, par conséquent, le rapport Je R* à R" ne peul être plus grand que celui de S à S'.

On prouverait de la même manière qu'il ne saurait être plus petit : il lui est dom: égal ; ce qu'il fallait démontrer.

N. B. Il suit de là que le rapport de la surface d'un cercle quelconque au carré du son rayon est le même, quel que soit ce rayon. Nous trouverons bientôt une seconde signification géométrique à ce rapport constant.

La surface d'un cercle quelconque est donc égale au produit du carré de son rayon par ce nombre constant.

364. Rétumé de cette méthode, — La méthode que cet exemple suffit pour faire bien comprendre, et que les anciens géomètres ont appliquée à toutes les questions où la comparaison des quantités ne pouvait être ramenée aux premières notions, considérée au point de vue le plus général, peut su résumer comme il suit :

Considérer les quantités entre lesquelles on cherche une relation comme limites de quantités plus simples; chercher la relation entre ces dernières, qui fait prévoir celle que le» proposées ont entre elles; poser ensuite cette dernière comme un théorème à démontrer, et employer à cet effet le procédé de réduction à l'absurde, en s'appuyant tant sur la relation qu'on a démontrée entre les quantités auxiliaires, que par la condition que ces dernières puissent être supposées aussi voisines des proposées que l'exigeront le» besoins de la démonstration.

Exposons maintenant la méthode plus simple que les modernes lui ont substituée.

SCIKNCK Dr. L 1 ÉTENDUE.