MÉTHODE DES LIMITES

PMBCIPE FOH DAMES T AL.

36S. Une -variable ne peut tendre vers deux limites

Celle proposition De serait pas vraie si par limite on entendait seulement une constante telle, que sa différence avec la variable put devenir moindre que toute grandeur donnée, et qu'on n'ajoutât pas que cette différence restera moi ndre que cette grandeur, dans la suite indéfinie de valeurs qu'elle prendra ensuite. En effet, sans cette condition, que nous avons expressément exigée dans la définition délimite, une variable pourrait, après s'être approchée d'une certaine constante, s'en éloigner pour s'approcher d'une antre constante, et revenir ainsi de l'uneà l'autre, de telle manière que sadiflurence avec ces deux constantes devint alternativement au-dessous de toute grandeur donnée; mais, avec la condition nécessaire que nous venons de rappeler, il est facile de voir que cela n'est plus possible.

Supposons, en effet, qu'une variable ait deux limites A et B qui aient entre elles une différence D, et soit A une quantité moindre que la moitié de D; il est évident que les intervalles compris d'une part entre A-f- A et A — A, et

d'une autre part entre B + A et B —

■A, n'ont rien de

muu, c'est-à-dire qu'aucune grandcu

rne peut être dan

1 l'un

et dans l'autre à la fois. Or, une v;

irialile qui aurait

limite A devrait finir par rester dan

irdle,

et, si elle avait aussi B pour limite,

elle devrait aussi

par rester dans le second. Elle 9crai :

: donc à la fois da

as le»

deux, ce qui est absurde.

Donc une variable ne peut avoir deux limites inégales.

COUVERT on passe d'ume relation entrb nia ViKUM.ES

A UNE HELAT [014 ENTRE LBUHS LIMITES.

366. Ton Le relation cuire des grandeurs peut généralement se ramener à une égalité ou une inégalité entre certaines expressions qui en dépendent. Nous ne nous occuperons ici que des premières.

Considérons donc une égalisé dans les deux membres de laquelle des variables, tendant vers des limites, su trouvent combinées entre elles et des constantes par des opérations quelconques, par exemple d'addition et soustraction seulement, s'il s'agit de quantités concrètes; et de multiplications, divisions, etc., si elles sont censées réduites en nombre. .La première question qui doit nous occuper consistera à déterminer la limite des sommes, différences, produits, quotients, racines, etc., de variables dont on connaît les

367. Nous pourrions examiner successivement les diverses opérations auxquelles les variables peuvent être soumises, et faire une démonstration pour chacune; mais ce serait inutile parce que toutes les conclusions qui s'y rapportent découlent immédiatement de ce qui a été établi dans la science des nombres, relativement à la continuité. Nous avons en effet démontré que si, dans une fonction de diverses quantités, on concevait deux systèmes de valeurs pour ces quantités, on pouvait supposer une assez petite différence entre ces valeurs respectives, pour que la différence des deux valeurs de la fonction fût moindre que toute grandeur donnée. Il résulte de là que les variables t., y, peuvent di0érer assez peu de leurs limites a, è, c,..., I, pour que la fonction des premières, soit aussi peu différente qu'on voudra de la même fonction des secondes, et que par

-ifla bciehce ne l'étendue.

conséquent celle dernière est la limite de la première.

D'où l'on déduira cette proposition générale :

Si des variables tendent vers des limites finies, toute fond ion de ces variables, tendra vers la même fonctionde

El si, dans un cas particulier, la fonction des variables était constante, cette valeur constante serait égale à la même fonction des limites. Car leur différence pouvant Pire démontrée an-dessous de louie grandeur, et étant constante, ne peut être que zéro.

N. B. Nous excluons le cas où une des limites serait zéro, parce que si la variable correspondante était en diviseur, et qu'il y eût en facteur une quantilé devenant nulle en mime temps, les raisonnements précédents ne s'appliqueraient plus. Ce cas très-important sera considéré plus lard.

it(>8. On voit, d'après cela, comment, ayant une relation entre des variables quelconques, on peut en obtenir une entre leurs limites.

En eflèt, celte relation étant supposée réduite à une égalité entre deux fonctions des variables, et les limites de deux quantités égales étant égales, il s'ensuit que les limites des deux membres de l'égalité sont égales; mais ces limites s'obtiennent eu remplaçant les variables par leurs limites. D'où se conclut celte proposition :

Quand on a une relation entre des variables qui ont des limites finies, on en aura une entre leurs limites en substituant simplement ces limites aux variables.

Dans 3c cas particulier où les deux membres de la relation seraient constants, il a été démontré qu'ils seraient respectivement égaux aux résultats de la substitution des limites aux variables; et, par conséquent, ces résultats seraient égaux puisque les deux membres le sont. La conclu-

Cil *I'1TPE V. 39.1

aion cal donc la même que lorsque ces membres sont variable*.

369. En quoi consiste la méthode des limites. — En réunissant les propositions que nous venons d'établir, on obtient la méthode générale que nous allons formuler :

« Lorsque l'on veut obtenir une relation entre des quantités qui peuvent tire considérées comme limites de quanti lés variables J'une espèce plus simple, on cherchera d'abord la relation entre ces dernières et les données, et peut-ttre encore certaines autrCs variantes auxiliaires.

n Si cette relation est obtenue, on en aura une autre en substituant à toutes les variables leurs limites; et l'on aura ainsi une relation entre les quantités proposées. » Le problème sera donc résolu.

370. Remarque. — Cette méthode, comme on le voit, ne diffère de celle qu'on trouve dans les ouvrages d'Euclide et d'Archimèdc, que par la manière de démontrer la relation entre les limites des quantités cuire lesquelles on a trouvé une relation. Dan* la méthode des limites que nous venons d'exposer, un démontre généralement, quelle que soit la forme de cette relation, qu'on en aura une exacte eu remplaçant les variables par leurs limites, ce qui donne la relation entre les quantités proposées. Dans la méthode de* anciens on commence de même par considérer les quantités proposées comme limites d'autres plus simples, et par chercher la relation entre ces dernières. Pour les inventeurs elle entraînait immédiatement celle entre les limites, et la méthode des modernes n'a en cela aucun avantage sur celle des anciens; maïs quand ils l'avaient découverte, ils n'osaient pas la communiquer aux autres de la même manière, crainte des objections subtiles des sophistes, et ils la posaient connue un théorème n démontrer, sans parler des niuyeos par lesquels ils y étaient parvenus. S'appuvant

3^4 SCIEBCB DE l'ÉTWlDDE.

alors sur la relation trouvée entre les quantités variables, et sur la propriété qu'elles avaient de pouvoir différer des proposées d'une quantité moindre que toute grandeur donnée, ils démontraient que la relation ne pouvait Être autre que relie qu'ils annonçaient, parce que toute autre supposition conduirait à des absurdités ou des contradictions.

La méthode des modernes est donc préférable. Elle donne une manière générale et uniforme de passer de la relation des variables à celle des quanti lés proposées; tondis que les anciens étaient .obligés de faire des raisonne- ■ments différents pour les différentes questions, et que la inarchedela réduction h l'absurde est pénible, et ne montre pas comment la vérité a été trouvée; elle fatigne celui qui apprend et ne l'éclairé pas. Mais ce passage de la première relation à la seconde était fait par les inventeurs, comme il l'est aujourd'hui; et ce n'est qu'après l'avoir fait qu'ils pouvaient poser l'énoncé de leurs théorèmes; le perfectionnement fait par les modernes est donc utile plutôt à ceux qui apprennent qu'à ceux qui découvrent.