Nous, avons vu qu'Euclide, pour approcher de plus

le carré inscrit, auquel il ajoute les quatre triangles ayant pour bases les coïts de ce carré, et pour sommets les milieux des arcs sous. tendus ; à celle somme il ajoute huit nouveaux triangles, ayant pour bases les côtés de l'octogone formé parles précédents, et continue ainsi indéfiniment; puis il prouve très-si triplement cjue ce qui reste du cercle, en enlevanL le carré et celle suite de triangles, peut devenir moindre que toute quantité donnée, et que par conséquent par ce procédé on tend de plus en plus à épuiser la surface du cercle, de sorte que la limite serait l'épuisement

Ainsi Euclide ne considère pas directement les surfaces des polygones dont le nombre des cotes se double toujours, mais ce qui s'ajoute successivement à la surface de chacun d'eux pour avoir celle du suivant; de telle sorte que le cercle est considéré comme la limite d'une somme de termes en nombre indéfiniment croissant, dont le premier est le carré inscrit, le second la somme des quatre triangles de premier ordre, le troisième la somme des huit triangles de second ordre, et ainsi de suite.

En considérant d'une manière générale ce procédé dont les anciens nous ont donné bien des exemples, on voit qu'il consiste à ôter d'abord de la quantité proposée une partie déterminée d'espèce plus simple ; puis à oter de ce qui reste une nouvelle quantité fixe comme la première, ce qui

3t)6 SCIENCE DE l'eTEMDUC.

donne lieu à un nouveau reste, dont on ôle encore une nouvelle quantité fixe, et ainsi de suite.

Si le reste, après un certain nombre d'opérations de ce genre, devient et demeure au-dessous de toute quand lé donnée, la quantité proposée peut être regardée comme limite de la quantité variable qui serait la somme des termes, en nombre indéfiniment croissant, qu'on en a successivement enlevés, et qui constituent ce que dans la scienre des nombres nous avons appelé une série.

Nous emprunterons aux anciens plusieurs exemples de ce procédé : les modernes en ont fait un usage bien plu* étendu sans doute, mais le principe était posé du temps d'Euclide.

DES QUANTITÉS CONSIDEREES COMME LIMITES DE SOMMES u'ifIFINIMKHT PETITS.

373. Arcbimèdc a conçu une autre manière d'envisager les grandeurs comme des limites. Il a pris pour variable, non plus la somme de grandeurs invariables ebacune, comme dans les séries, mais variables chacune, et décroissant de manière à pouvoir devenir moindres que toute grandeur donnée. Il démontrait que cette somme, dont le nombre des parties croit indéfiniment, à mesure que leur grandeur diminue, peut finir par différer de la quantité proposée de moins que toute grandeur désignée; c'est-àdire, suivant notre langage, qu'il démontrait que celle quantité serait la limite de la somme des quantités décroissantes, dont te nombre augmenterait indéfiniment.

Nous appellerons quantité infiniment petite, ou simplement infiniment petit, toute grandeur variable dont la

Le point de vue que nous venons d'indiquer, et dont îl

est juste Je regarder Arcliimèdc comme l'inventeur, consiste donc à considérer les grandeurs comme limites de tommes H' infiniment petits.

Nous donnerons bientôt des exemples, tirés des anciens et des modernes, de ces deux manières d'envisager les grandeurs comme limites de variables.

ocs r.mnnEiins considêbées comme limites de «apports

n'iNFI MUENT PETITS.

374. Nous allons encore indiquer une dernière conception toute moderne, et qu'on doit réellement considérer comme nu! èrement duc à Descartes.

Ccgr;>:.d géomètre y est parvenu à l'occasion d'une des plusimpoiJanles questions de la Géométrie dnntil adonne le premier une solution générale. Elle consiste à regarder la quantité qu'on cherche comme étant la limite du rapport de deux infiniment petits. Nous donnerons quelques applications de cette conception, qui est une des plus grandes et des plus utiles de la science moderne, et que les successeurs de Descartes ont considérablement étendue.

PB1KCIPK FONDAMENTAL DANS l'eMPLOI DES INFINIMENT

375. Dans toutes les circonstances où Arrltîmède a employé les infiniment petits, il considère deux sommes, l'une plus grande, l'autre plus petite que la quantité proposée-, et non-seulement ces conditions sont remplies pour les sommes entières, elles le sont encore pour les éléments correspondants.

Ainsi, par exemple, dans le cas de la spirale, 1rs deux secteurs élémentaires compris entre deux droites consécutives sont l'un plus petit, l'autre plus grand que la portion de

3o8 SCIENCE DE L'bUDdl.

l'aire cherchée qui s'y trouve comprise. Dans lo cas du colloïde parabolique, deux plaus consécutifs comprennent deux cylindres élémentaires et une portion du solide moindre que l'un et plus grande que l'autre; el il eu est de mémo des autres questions. Et ce n'est que parce que ces conditions sont remplies pour chaque élément qu'il est démontré qu'elles le sont pour les sommes.

Or il arrive souvent qu'en décomposant la grandeur en parties indéfiniment décroissantes, chacun de ces éléments ne peut facilement Être démontré compris entre les deux éléments infiniment petits des sommes, d'espèce plus simple. C'est ce qui arriverait, par exemple, dans le cas du conoïde, si l'on donnait aux a rites des cylindres une direction telle, qu'ils eussent toujours une partie en dedans et une partie en dehors de la portion de conoïde comprise entre leurs bases. On a pu éviter la difficulté dans ce cas; ou ne le pourrait pas pour des solides de toutes les formes.

Or, l'emploi des infiniment petits est aussi commode et aussi sûr dans tous les cas possibles, au moyen d'un principe très-simple que nous allons démontrer, et qui dispense do la considération des sommes et permet de s'occuper seulement d'un élément général.