PRINCIPE FOBDAMEHTAL UE8 INFINIMENT PETITS

376. La limite de la somme ou du rapport de quantité! infiniment petites n'est pas changée lorsqu'on remplace ces quantités par d'autres, dont les rapports avec elles ont respectivement pour limites l'unité.

i" Soient en effet les infiniment petits *i > a,, a,, . . , , ««, , dont la somme tend vers une limite à mesure' que leur

cHÀFiTiiE v. 3oo, nombre augmente indéfiniment. Soient d'autres infiniment

S,, «,, S,,-.-. 5-, tels, que les rapports

aient mus pour limite l'unité.

On sait que si l'on a une suite de rapports dont les terme» soient considérés dans leur valeur absolue, ce qui est le cas que nous supposons ici, la somme des antécédents divisée par la somme des conséquents est comprise entre le plus petit et le plus grand de ces rapports. Il suit de là que le rapport

sera compris entre le plus petit et le plus grand des premiers, et par conséquent aura aussi pour limite l'unité;

d'où résulte nécessairement que la somme 6, -H 6j-f- -(- 6^,

a la même limite que a, -+- a, ■+-.,. +- a„. c. o.. r. d.

Remarque. — Si l'une des sommes était constante, l'autre aurait pour limite celle constante, sans quoi le rapport n'anra pas pour limite l'unité.

a" Supposons en second lieu qu'il s'agisse du rapport de deux infiniment petits a, S; et soient a', S' deux infiniment petits différents des premiers, mais tels, que les rapports —, -s aient pour limite I uni te; ce qm entraîne qu il en est de même des rapporls réciproques^) puisqu'en général

~. = -r-rr* d'où lim —, = — — -, ■

SCIBHCt DE I.V.TKMDUE.

Nous allons démontrer que la limite lie | est la même que celle de

En effet, on a identiquement

Le» limites de ces deux variables égales sont égales; ci comme la limite d'un produit est le produit des limites des facteurs, et que la limite de chacun des deux facteurs ^ , -~ est l'unité, on aura

lim ^ = lira ~ r- «. r. ■>■

377. Le principe peut s'énoncer d'une autre manière, au moyen de la proposition suivante ;

Lorsque la limite du rapport de deux quantités est Punilé, leur différence est infiniment petite par rapport à l'une quelconque des deux; c'est-à-dire que le rapport de cette différence à l'une quelconque de ces quantités a pour limite zéro.

El réciproque ment : si la différence de deux quantités est infiniment petite par rapport à l'une d'elles, la limite de leur rapport est l'unité. ■

Soient, en effet, a cl a' deux quantités quelconques, el t leur dillérence, on aura

d'où

Donc, si la limite du — est l'unité, celle de 4 est-iéro; et ré-