CHAPITRE TH. 44l

dont la somme esi

î^MN(CQ + CQ) ou 4>0I.HN,

puisque

CQ+C'Q = 90I.

Cette somme étant indépendante de la position des deux cotés symétriques, il suffira de la répéter autant de fois qu'il y a de cotés compris dans la demi -circonférence, pour avoir la mesure de la surface totale engendrée par le périmètre du polygone. On obtiendra ainsi 4 tïOI multiplié par le de mi -péri mètre. La limite vers laquelle tend ce produit, quand le nombre des côtés augmente indéfiniment, sera 4*01 multiplié par la demi -circonférence du cercle, ou le produit du la circonférence du cercle générateur par anOl, qui mesure la circonférence que décrit son centre. Telle est l'expression de la surface du tore.

414. Volume du tore. — Concevons le cercle décomposé par des perpendiculaires à l'axe XY [fig- 48), dont la distance diminue indéfiniment; la partie du volume cherché, qui sera engendrée par la surface MNM'H' comprise

Fie- 48-

entre deux parallèles consécutives, ne différera de celle engendrée par le rectangle MM'H'H que d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même; d'où il suit que le

44? SCIENCE DE l'ÉTKHDOE.

volume cherché peut Être; considéré comme la limite de la somme de ceux qu'engendreront lous les rectangles compris entre les parallèles prises depuis A jusqu'à II.

Or le volume engendré par MM'H'H est la différence de deux cylindres dont tes mesures respective» sont

«Mp'.MH et »M T p\MB,

et donnent pour différence :

*MH{MP'— STp') ou jrMH [HP— M'P) (MP + M'P),

ou ce. (in

aitOI.HH.MM'.

Mais MH.MM'eat l'aire du rectangle MM'H'H, et la somme de ces aires" a pour limite celle du cercle. Le volume du tore aura donc pour mesure air 01, multiplié par la surface dii cercle, c'est-à-dire le produit de cette surface par la circonférence décrite par te centre.

415. foin me engendre par un segment de cercle tournant autour de sa corde. — Soient (Jîg. 49) CMD le segment, Aille diamètre parallèle à la corde, 01 la distance de ces deux droites; MPQ, M'P'Q' deux perpendiculaires a CD, infiniment voisines l'une de l'autre; le volume cherché sera la limite de la somme des cylindres engendrés par les rectangles, tels que MP', pris depuis C jusqu'à D.

L'expression générale de ces cylindres sera

«Mp'.PP' ou n (mq'- iMQ.PQ-f-PÔ'JpP';

et il ne s'agit plus que de prendre les limites des sommes relatives 0 ces trois termes.

La première, ou la limite de la somme des éléments 71 MQ. PI", sera la mesure de la portion de la sphère de

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